Exercício 37. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde o limite é tomado é
.
O que se pede: - Mostrar, de forma rigorosa, que os valores de
ficam arbitrariamente próximos de quando está suficientemente próximo de .
Passo 2
Vamos usar a definição clássica de limite (definição
-
). Vou escrever a definição e explicar cada parte.
Definição: dizemos que
se, para todo
(tolerância desejada para a saída), existe
(tolerância correspondente para a entrada) tal que, sempre que
então
O que isso significa em palavras simples: dada qualquer precisão
que você peça para o valor de
ficar próximo de
, é possível encontrar uma margem
em torno de
tal que todo
(diferente de
) dentro dessa margem faz
ficar dentro de
de
.
Passo 3
Aplicando essa definição ao nosso caso, temos
,
e
. Primeiro calculemos a distância entre
e
:
Isso mostra de forma direta como a variação em
afeta a variação em
: o valor absoluto de
é exatamente
vezes o valor absoluto de
.
Passo 4
Queremos garantir que
. Usando a expressão anterior, isso equivale a pedir
Dividindo ambos os lados por
(positivo), obtemos
Portanto, se conseguirmos assegurar que
com
, então automaticamente teremos
.
Passo 5
Agora fazemos a prova formal no estilo
-
:
Seja arbitrário
. Escolha
Note que
porque
. Agora, suponha que
satisfaz
. Então
Isso mostra exatamente a condição exigida pela definição: para este
, sempre que
temos
. Como a escolha de
foi arbitrária, concluímos que
Passo 6
Comentário extra (útil na prova rápida): por leis básicas de limites, como
e a propriedade de multiplicação por constante, tem-se imediatamente
A prova
-
acima mostra por que essa propriedade vale para este caso concreto.