Exercício 37. Prove que:
\lim _{x \rightarrow 0} 4 x=0

Passo 1

O enunciado pede para provar que
\lim_{x\to 0}4x=0.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=4x.
  • O ponto onde o limite é tomado é x\to 0.
    O que se pede:
  • Mostrar, de forma rigorosa, que os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 0 quando x está suficientemente próximo de 0.

Passo 2

Vamos usar a definição clássica de limite (definição \varepsilon- \delta). Vou escrever a definição e explicar cada parte.
Definição: dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0 (tolerância desejada para a saída), existe \delta>0 (tolerância correspondente para a entrada) tal que, sempre que
0<|x-a|<\delta,
então
|f(x)-L|<\varepsilon.
O que isso significa em palavras simples: dada qualquer precisão \varepsilon que você peça para o valor de f(x) ficar próximo de L, é possível encontrar uma margem \delta em torno de a tal que todo x (diferente de a) dentro dessa margem faz f(x) ficar dentro de \varepsilon de L.

Passo 3

Aplicando essa definição ao nosso caso, temos f(x)=4x, a=0 e L=0. Primeiro calculemos a distância entre f(x) e L:
|f(x)-L|=|4x-0|=4|x|.
Isso mostra de forma direta como a variação em x afeta a variação em f(x): o valor absoluto de f(x) é exatamente 4 vezes o valor absoluto de x.

Passo 4

Queremos garantir que |f(x)-L|<\varepsilon. Usando a expressão anterior, isso equivale a pedir
4|x|<\varepsilon.
Dividindo ambos os lados por 4 (positivo), obtemos
|x|<\frac{\varepsilon}{4}.
Portanto, se conseguirmos assegurar que 0<|x-0|<\delta com \delta=\dfrac{\varepsilon}{4}, então automaticamente teremos |f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 5

Agora fazemos a prova formal no estilo \varepsilon- \delta:
Seja arbitrário \varepsilon>0. Escolha
\delta=\frac{\varepsilon}{4}.
Note que \delta>0 porque \varepsilon>0. Agora, suponha que x satisfaz 0<|x-0|<\delta. Então
|f(x)-L|=|4x-0|=4|x|<4\delta=4\cdot\frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente a condição exigida pela definição: para este \delta, sempre que 0<|x-0|<\delta temos |f(x)-L|<\varepsilon. Como a escolha de \varepsilon>0 foi arbitrária, concluímos que
\lim_{x\to 0}4x=0.

Passo 6

Comentário extra (útil na prova rápida): por leis básicas de limites, como \lim_{x\to 0} x = 0 e a propriedade de multiplicação por constante, tem-se imediatamente
\lim_{x\to 0}4x = 4\cdot\lim_{x\to 0}x = 4\cdot 0 = 0.
A prova \varepsilon- \delta acima mostra por que essa propriedade vale para este caso concreto.

Resposta

0

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