Exercício 36. Mostre, usando
, que:
Passo 1
O enunciado pede que seja mostrado, usando a definição
–
de limite, que
Informações dadas:
- A função envolvida é
. - O ponto de interesse é
. - Deve-se aplicar a definição formal: para todo
existe tal que, se , então .
Passo 2
Vou lembrar, de modo simples, o que significa provar um limite com
-
.
Definição: dizer que
significa mostrar que
Aqui:
-
é o quão perto do valor limite (que queremos) queremos ficar (distância no eixo vertical). -
é o quanto temos de restringir em torno de (distância no eixo horizontal) para garantir essa proximidade.
A tarefa é, dado um
qualquer, construir explicitamente um
que funcione.
Passo 3
Começamos manipulando a expressão que queremos controlar:
Essa fatoração é útil porque o termo que podemos controlar diretamente é
(é isso que o
limita). O problema é o fator extra
, que depende de
. Portanto precisamos escolher um modo de limitar
por alguma constante, restringindo a faixa de
(isto é, escolhendo
suficientemente pequeno).
Passo 4
Uma escolha prática: obrigar
. Então, se
, temos
Para esses
segue
portanto, sempre que
temos a desigualdade
Passo 5
Queremos garantir
. A partir de
, basta impor
, isto é
.
Portanto uma escolha que garante ambas as condições (a de manter
controlado e a de reduzir
abaixo de
) é
Passo 6
Agora formalizo a prova com essa escolha.
Seja
arbitrário. Defina
Suponha
tal que
. Então, como
, temos
e portanto
, o que dá
. Assim
Mas
, então
Isso mostra que para todo
existe
(especificamente
) tal que
implica
.
Passo 7
Conclusão e observação prática.
Concluímos, pela definição
-
, que
Dica prática: o truque usado aqui é comum — fatorar a diferença, controlar um dos fatores deixando
pequeno (escolhendo
pequeno) e usar um limite fixo (como
) para tornar o outro fator limitado por uma constante. Em provas rápidas na prova, esta é a forma padrão de argumentar.