Exercício 36. Mostre, usando \varepsilon-\delta, que:
\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}=1

Passo 1

O enunciado pede que seja mostrado, usando a definição \varepsilon \delta de limite, que
\lim_{x\to 1} x^{2} = 1.
Informações dadas:
  • A função envolvida é x\mapsto x^{2}.
  • O ponto de interesse é x=1.
  • Deve-se aplicar a definição formal: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-1|<\delta, então |x^{2}-1|<\varepsilon.

Passo 2

Vou lembrar, de modo simples, o que significa provar um limite com \varepsilon- \delta.
Definição: dizer que \lim_{x\to 1} x^{2}=1 significa mostrar que
\forall \varepsilon>0\\ \exists \delta>0\\ \text{tal que}\\\ 0<|x-1|<\delta \Rightarrow |x^{2}-1|<\varepsilon.
Aqui:
  • \varepsilon é o quão perto do valor limite (que queremos) queremos ficar (distância no eixo vertical).
  • \delta é o quanto temos de restringir x em torno de 1 (distância no eixo horizontal) para garantir essa proximidade.
A tarefa é, dado um \varepsilon>0 qualquer, construir explicitamente um \delta>0 que funcione.

Passo 3

Começamos manipulando a expressão que queremos controlar:
|x^{2}-1| = |x-1||x+1|.
Essa fatoração é útil porque o termo que podemos controlar diretamente é |x-1| (é isso que o \delta limita). O problema é o fator extra |x+1|, que depende de x. Portanto precisamos escolher um modo de limitar |x+1| por alguma constante, restringindo a faixa de x (isto é, escolhendo \delta suficientemente pequeno).

Passo 4

Uma escolha prática: obrigar \delta\le 1. Então, se 0<|x-1|<\delta\le 1, temos
|x-1|<1 \Rightarrow -1<x-1<1 \Rightarrow 0<x<2.
Para esses x segue
|x+1| = x+1 < 2+1 = 3,
portanto, sempre que 0<|x-1|<1 temos a desigualdade
|x^{2}-1| = |x-1||x+1| < 3|x-1|.

Passo 5

Queremos garantir |x^{2}-1|<\varepsilon. A partir de |x^{2}-1|<3|x-1|, basta impor 3|x-1|<\varepsilon, isto é |x-1|<\varepsilon/3.
Portanto uma escolha que garante ambas as condições (a de manter |x+1| controlado e a de reduzir |x^{2}-1| abaixo de \varepsilon) é
\delta = \min\!\left(1,\\ \frac{\varepsilon}{3}\right).

Passo 6

Agora formalizo a prova com essa escolha.
Seja \varepsilon>0 arbitrário. Defina
\delta = \min\!\left(1,\\ \frac{\varepsilon}{3}\right).
Suponha x tal que 0<|x-1|<\delta. Então, como \delta\le 1, temos |x-1|<1 e portanto 0<x<2, o que dá |x+1|<3. Assim
|x^{2}-1| = |x-1||x+1| < 3|x-1|.
Mas |x-1|<\delta\le \varepsilon/3, então
|x^{2}-1| < 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificamente \delta=\min(1,\varepsilon/3)) tal que 0<|x-1|<\delta implica |x^{2}-1|<\varepsilon.

Passo 7

Conclusão e observação prática.
Concluímos, pela definição \varepsilon- \delta, que
\lim_{x\to 1} x^{2} = 1.
Dica prática: o truque usado aqui é comum — fatorar a diferença, controlar um dos fatores deixando |x-1| pequeno (escolhendo \delta pequeno) e usar um limite fixo (como \delta\le 1) para tornar o outro fator limitado por uma constante. Em provas rápidas na prova, esta é a forma padrão de argumentar.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1} x^{2} = 1

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