Exercício 34. Resolva os itens abaixo:
a) Prove que \left(\operatorname{sen} 1^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{sen} 89^{\circ}\right)=\frac{\left(\operatorname{sen} 2^{\circ}\right)}{2}.
b) Prove que \left(\operatorname{sen} 2^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{sen} 88^{\circ}\right)=\frac{\left(\operatorname{sen} 4^{\circ}\right)}{2}.
c) Sabendo que
\left(\operatorname{sen} 1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen} 3^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen} 5^{\circ}\right) \ldots\left(\operatorname{sen} 87^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen} 89^{\circ}\right)=\frac{1}{2^{n}}
qual o valor de n ?

Passo 1

O enunciado pede três coisas distintas:
  • (a) Mostrar que \left(\operatorname{sen}1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}89^{\circ}\right)=\dfrac{\operatorname{sen}2^{\circ}}{2}.
  • (b) Mostrar que \left(\operatorname{sen}2^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}88^{\circ}\right)=\dfrac{\operatorname{sen}4^{\circ}}{2}.
  • (c) Dado que
\left(\operatorname{sen}1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}3^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}5^{\circ}\right)\cdots\left(\operatorname{sen}87^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}89^{\circ}\right)=\frac{1}{2^{n}},
determinar o valor de n.
Informações úteis e observações imediatas que o enunciado dá (ou que podemos usar):
  • Para qualquer ângulo x em graus, \operatorname{sen}(90^{\circ}-x)=\cos x.
  • A identidade trigonométrica de ângulo duplo: \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x, que pode ser rearranjada como \operatorname{sen}x\cos x=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}.
  • O produto pedido em (c) envolve todos os senos de ângulos ímpares de 1^{\circ} até 89^{\circ}; esse conjunto tem 45 fatores (porque é uma progressão aritmética com diferença 2: (89-1)/2+1=45).
A partir daqui vou demonstrar (a) e (b) usando identidades trigonométricas básicas e depois resolver (c) usando uma identidade clássica de produtos de senos (que vou provar), aplicada aos valores adequados.

Passo 2

Prova da identidade básica que vamos usar (pegar essa no cinto de utilidades): mostrar que \operatorname{sen}x\cos x=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}.
Explicação didática dessa fórmula:
  • A fórmula de dobro do seno diz que, para qualquer x,
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x.
  • Nessa expressão, \operatorname{sen}(2x) é o seno do ângulo duas vezes x; \operatorname{sen}x e \cos x são os seno e cosseno do próprio x.
  • Reorganizando a fórmula, divide-se ambos os lados por 2 para obter
\operatorname{sen}x\cos x=\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}.
Isso é exatamente a identidade que nos permite transformar um produto seno·coseno em um seno de ângulo duplo dividido por 2. É uma identidade elementar e muito útil em provas de produtos de senos.

Passo 3

Aplicando a identidade ao item (a).
  • Observe que \operatorname{sen}89^{\circ}=\operatorname{sen}(90^{\circ}-1^{\circ})=\cos1^{\circ}. Essa igualdade segue da relação seno-cosseno de ângulos complementares.
  • Assim
\left(\operatorname{sen}1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}89^{\circ}\right)=\operatorname{sen}1^{\circ}\cos1^{\circ}.
  • Usando a identidade do Passo 2 com x=1^{\circ}, obtemos
\operatorname{sen}1^{\circ}\cos1^{\circ}=\frac{\operatorname{sen}(2\cdot1^{\circ})}{2}=\frac{\operatorname{sen}2^{\circ}}{2}.
Portanto a igualdade pedida em (a) está provada.

Passo 4

Aplicando a mesma ideia ao item (b).
  • Note que \operatorname{sen}88^{\circ}=\operatorname{sen}(90^{\circ}-2^{\circ})=\cos2^{\circ}.
  • Então
\left(\operatorname{sen}2^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}88^{\circ}\right)=\operatorname{sen}2^{\circ}\cos2^{\circ}.
  • Pela identidade do Passo 2 com x=2^{\circ},
\operatorname{sen}2^{\circ}\cos2^{\circ}=\frac{\operatorname{sen}(4^{\circ})}{2}.
Logo a igualdade em (b) também está provada.

Passo 5

Preparação para o item (c): estratégia geral e a identidade de produto de senos que será usada.
Estratégia: emparelhar termos como em (a) e (b) reduz o produto de muitos senos a produtos de senos de ângulos duplos, e isso pode ser levado adiante. Uma via elegante e direta é usar a identidade clássica (que vou provar) para produtos de seno obtida a partir das raízes da unidade complexas:
\prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right)=\frac{N}{2^{\,N-1}}.
Aqui, N é inteiro \ge2. Na fórmula:
  • o produto é sobre k=1,2,\dots,N-1,
  • os ângulos são \dfrac{\pi k}{N} (radianos) — mas como trabalhamos com graus, lembra que 1^\circ=\dfrac{\pi}{180} radiano; nós vamos aplicar a fórmula com N adequados para transformar para graus.
Vou mostrar rapidamente por que a identidade é verdadeira (motivo e como usá-la): usar as raízes e^{2\pi i k/N} de z^N-1 e o fato de |1-e^{i\theta}|=2\sin(\theta/2).

Passo 6

Prova esquemática da identidade \displaystyle\prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right)=\dfrac{N}{2^{\,N-1}}.
  • Considere o polinômio z^N-1, cujas raízes são e^{2\pi i k/N} para k=0,1,\dots,N-1. Escreve-se
z^N-1=\prod_{k=0}^{N-1}\left(z-e^{2\pi i k/N}\right).
  • Dividindo por z-1 (que corresponde à raiz k=0) obtemos
\frac{z^N-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{N-1}\left(z-e^{2\pi i k/N}\right).
  • Agora avalie essa igualdade em z=1. O lado esquerdo, tomando limite z\to1, é
\lim_{z\to1}\frac{z^N-1}{z-1}=N
(pois é a derivada em 1 ou pela fórmula da soma geométrica). Assim
N=\prod_{k=1}^{N-1}\left(1-e^{2\pi i k/N}\right).
  • Tome o módulo absoluto de ambos os lados. O módulo do produto é o produto dos módulos; observe que para \theta real
\left|1-e^{i\theta}\right|=2\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
  • Aplicando isso com \theta=2\pi k/N temos
\left|1-e^{2\pi i k/N}\right|=2\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right).
  • Portanto, tomando módulos em N=\prod_{k=1}^{N-1}\left(1-e^{2\pi i k/N}\right) obtemos
N=\prod_{k=1}^{N-1} 2\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right)=2^{\,N-1}\prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right).
  • Isolando o produto de senos resulta a identidade desejada:
\prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right)=\frac{N}{2^{\,N-1}}.
Isso conclui a prova da identidade; agora aplico-a ao caso dos graus que temos no item (c).

Passo 7

Aplicação da identidade ao problema concreto do item (c).
  • Queremos P, definido por
P=\left(\operatorname{sen}1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}3^{\circ}\right)\cdots\left(\operatorname{sen}89^{\circ}\right).
  • Trabalhando com radianos, note que \operatorname{sen}k^{\circ}=\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right). Então P é o produto das senos \sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right) para k ímpar entre 1 e 89.
  • Use a identidade do Passo 6 com N=180:
\prod_{k=1}^{179}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right)=\frac{180}{2^{179}}.
  • Separe o produto total entre termos com k pares e termos com k ímpares:
\prod_{k=1}^{179}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right) = \left(\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{par}}}^{179}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right)\right) \left(\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{179}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right)\right).
  • O produto sobre k pares é o mesmo que, escrevendo k=2m com m=1,2,\dots,89,
\prod_{m=1}^{89}\sin\!\left(\frac{\pi(2m)}{180}\right) =\prod_{m=1}^{89}\sin\!\left(\frac{\pi m}{90}\right).
Aplicando a identidade do Passo 6 com N=90 obtemos
\prod_{m=1}^{89}\sin\!\left(\frac{\pi m}{90}\right)=\frac{90}{2^{89}}.
  • Chame de P_{\text{odd-total}} o produto de todas as senos com k ímpar entre 1 e 179:
P_{\text{odd-total}}=\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{179}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right).
Então da separação do produto total segue
\frac{180}{2^{179}}=\left(\frac{90}{2^{89}}\right)\cdot P_{\text{odd-total}}.
  • Isolando P_{\text{odd-total}},
P_{\text{odd-total}}=\frac{180}{2^{179}}\cdot\frac{2^{89}}{90} =2^{-89}.
  • Observe agora que os índices ímpares de 1 até 179 podem ser escritos como dois grupos simétricos: os ímpares de 1 até 89 e os ímpares de 91 até 179. Para k ímpar em [1,89] temos \sin\!\left(\dfrac{\pi(180-k)}{180}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi k}{180}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right), logo os termos com k de 91 a 179 repetem exatamente os termos com k de 1 a 89. Assim
P_{\text{odd-total}}=\left(\prod_{\substack{k=1\k\\ \text{ímpar}}}^{89}\sin\!\left(\frac{\pi k}{180}\right)\right)^2 = P^2.
  • Como encontramos P_{\text{odd-total}}=2^{-89}, segue
P^2=2^{-89}\quad\Rightarrow\quad P=2^{-89/2}.
  • Portanto o produto pedido no enunciado vale \dfrac{1}{2^{89/2}}. Comparando com a forma \dfrac{1}{2^{n}}, concluímos que
n=\frac{89}{2}.

Resposta

(a) \left(\operatorname{sen}1^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}89^{\circ}\right)=\dfrac{\operatorname{sen}2^{\circ}}{2}.
(b) \left(\operatorname{sen}2^{\circ}\right)\left(\operatorname{sen}88^{\circ}\right)=\dfrac{\operatorname{sen}4^{\circ}}{2}.
(c) n=\dfrac{89}{2}.

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