Exercício 34. Resolva os itens abaixo:
a) Prove que \left(\operatorname{sen} 1^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{sen} 89^{\circ}\right)=\frac{\left(\operatorname{sen} 2^{\circ}\right)}{2}.
b) Prove que \left(\operatorname{sen} 2^{\circ}\right) \cdot\left(\operatorname{sen} 88^{\circ}\right)=\frac{\left(\operatorname{sen} 4^{\circ}\right)}{2}.
c) Sabendo que
Informações úteis e observações imediatas que o enunciado dá (ou que podemos usar):
Para qualquer ângulo x em graus, \operatorname{sen}(90^{\circ}-x)=\cos x.
A identidade trigonométrica de ângulo duplo: \operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}x\cos x, que pode ser rearranjada como \operatorname{sen}x\cos x=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}.
O produto pedido em (c) envolve todos os senos de ângulos ímpares de 1^{\circ} até 89^{\circ}; esse conjunto tem 45 fatores (porque é uma progressão aritmética com diferença 2: (89-1)/2+1=45).
A partir daqui vou demonstrar (a) e (b) usando identidades trigonométricas básicas e depois resolver (c) usando uma identidade clássica de produtos de senos (que vou provar), aplicada aos valores adequados.
Passo 2
Prova da identidade básica que vamos usar (pegar essa no cinto de utilidades): mostrar que \operatorname{sen}x\cos x=\dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2}.
Explicação didática dessa fórmula:
A fórmula de dobro do seno diz que, para qualquer x,
Isso é exatamente a identidade que nos permite transformar um produto seno·coseno em um seno de ângulo duplo dividido por 2. É uma identidade elementar e muito útil em provas de produtos de senos.
Passo 3
Aplicando a identidade ao item (a).
Observe que \operatorname{sen}89^{\circ}=\operatorname{sen}(90^{\circ}-1^{\circ})=\cos1^{\circ}. Essa igualdade segue da relação seno-cosseno de ângulos complementares.
Preparação para o item (c): estratégia geral e a identidade de produto de senos que será usada.
Estratégia: emparelhar termos como em (a) e (b) reduz o produto de muitos senos a produtos de senos de ângulos duplos, e isso pode ser levado adiante. Uma via elegante e direta é usar a identidade clássica (que vou provar) para produtos de seno obtida a partir das raízes da unidade complexas:
os ângulos são \dfrac{\pi k}{N} (radianos) — mas como trabalhamos com graus, lembra que 1^\circ=\dfrac{\pi}{180} radiano; nós vamos aplicar a fórmula com N adequados para transformar para graus.
Vou mostrar rapidamente por que a identidade é verdadeira (motivo e como usá-la): usar as raízes e^{2\pi i k/N} de z^N-1 e o fato de |1-e^{i\theta}|=2\sin(\theta/2).
Passo 6
Prova esquemática da identidade \displaystyle\prod_{k=1}^{N-1}\sin\!\left(\frac{\pi k}{N}\right)=\dfrac{N}{2^{\,N-1}}.
Considere o polinômio z^N-1, cujas raízes são e^{2\pi i k/N} para k=0,1,\dots,N-1. Escreve-se
z^N-1=\prod_{k=0}^{N-1}\left(z-e^{2\pi i k/N}\right).
Dividindo por z-1 (que corresponde à raiz k=0) obtemos
\frac{z^N-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{N-1}\left(z-e^{2\pi i k/N}\right).
Agora avalie essa igualdade em z=1. O lado esquerdo, tomando limite z\to1, é
\lim_{z\to1}\frac{z^N-1}{z-1}=N
(pois é a derivada em 1 ou pela fórmula da soma geométrica). Assim
N=\prod_{k=1}^{N-1}\left(1-e^{2\pi i k/N}\right).
Tome o módulo absoluto de ambos os lados. O módulo do produto é o produto dos módulos; observe que para \theta real
Trabalhando com radianos, note que \operatorname{sen}k^{\circ}=\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right). Então P é o produto das senos \sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right) para k ímpar entre 1 e 89.
Observe agora que os índices ímpares de 1 até 179 podem ser escritos como dois grupos simétricos: os ímpares de 1 até 89 e os ímpares de 91 até 179. Para k ímpar em [1,89] temos \sin\!\left(\dfrac{\pi(180-k)}{180}\right)=\sin\!\left(\pi-\dfrac{\pi k}{180}\right)=\sin\!\left(\dfrac{\pi k}{180}\right), logo os termos com k de 91 a 179 repetem exatamente os termos com k de 1 a 89. Assim