Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
\cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ}=2 \cdot \operatorname{sen} 23^{\circ} \cdot \operatorname{sen} 22^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ}=2\cdot\operatorname{sen}23^{\circ}\cdot\operatorname{sen}22^{\circ}.
Informações dadas e objetivo:
  • São ângulos em graus: 1^{\circ} e 45^{\circ}.
  • Deve-se usar as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença como ponto de partida.
  • Objetivo: transformar a diferença \cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ} numa expressão do tipo 2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B e mostrar que A=23^{\circ} e B=22^{\circ}.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença. Nessas fórmulas, A e B são ângulos quaisquer; \cos é o cosseno e \operatorname{sen} é o seno. As fórmulas são:
\cos(A+B)=\cos A\cos B-\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B,
\cos(A-B)=\cos A\cos B+\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B.
Explicando rapidamente: cada termo \cos A\cos B representa o produto dos cossenos dos ângulos, e \operatorname{sen}A\operatorname{sen}B o produto dos senos; os sinais decorrem da dedução geométrica/algébrica das fórmulas.

Passo 3

Subtraindo a fórmula da soma da fórmula da diferença (ou seja, \cos(A-B)-\cos(A+B)), fazemos as contas termo a termo:
\cos(A-B)-\cos(A+B)=(\cos A\cos B+\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B)-(\cos A\cos B-\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B).
Os termos \cos A\cos B se cancelam, sobrando
\cos(A-B)-\cos(A+B)=2\operatorname{sen}A\operatorname{sen}B.
Esta é a identidade geral que transforma uma diferença de cossenos em produto de senos.

Passo 4

Agora queremos aplicar essa identidade ao caso concreto \cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ}. Observe que a identidade tem a forma \cos(A-B)-\cos(A+B). Para usar diretamente, precisamos escolher A e B tais que
A-B=1^{\circ}\quad\text{e}\quad A+B=45^{\circ}.
Tratam-se de duas equações lineares em A e B. Soma-las e subtrai-las para achar A e B:
2A=(A+B)+(A-B)=45^{\circ}+1^{\circ}=46^{\circ}\quad\Rightarrow\quad A=23^{\circ},
2B=(A+B)-(A-B)=45^{\circ}-1^{\circ}=44^{\circ}\quad\Rightarrow\quad B=22^{\circ}.

Passo 5

Substituindo A=23^{\circ} e B=22^{\circ} na identidade obtida em \

Passo 6

\cos(23^{\circ}-22^{\circ})-\cos(23^{\circ}+22^{\circ})=2\operatorname{sen}23^{\circ}\operatorname{sen}22^{\circ}.
Como 23^{\circ}-22^{\circ}=1^{\circ} e 23^{\circ}+22^{\circ}=45^{\circ}, isso é exatamente
\cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ}=2\cdot\operatorname{sen}23^{\circ}\cdot\operatorname{sen}22^{\circ}.

Resposta

\cos 1^{\circ}-\cos 45^{\circ}=2\cdot\operatorname{sen}23^{\circ}\cdot\operatorname{sen}22^{\circ}

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