Exercício 37. A partir das fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença, prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
Informações dadas e objetivo:
- São ângulos em graus:
e . - Deve-se usar as fórmulas do cosseno da soma e do cosseno da diferença como ponto de partida.
- Objetivo: transformar a diferença
numa expressão do tipo e mostrar que e .
Passo 2
Escrevemos as fórmulas do cosseno da soma e da diferença. Nessas fórmulas,
e
são ângulos quaisquer;
é o cosseno e
é o seno. As fórmulas são:
Explicando rapidamente: cada termo
representa o produto dos cossenos dos ângulos, e
o produto dos senos; os sinais decorrem da dedução geométrica/algébrica das fórmulas.
Passo 3
Subtraindo a fórmula da soma da fórmula da diferença (ou seja,
), fazemos as contas termo a termo:
Os termos
se cancelam, sobrando
Esta é a identidade geral que transforma uma diferença de cossenos em produto de senos.
Passo 4
Agora queremos aplicar essa identidade ao caso concreto
. Observe que a identidade tem a forma
. Para usar diretamente, precisamos escolher
e
tais que
Tratam-se de duas equações lineares em
e
. Soma-las e subtrai-las para achar
e
:
Passo 5
Substituindo
e
na identidade obtida em \
Passo 6
Como
e
, isso é exatamente