Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
f(x)=\cos ^{6}(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\cos^{6}(x).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma função exterior u\mapsto u^{6} aplicada à função interior x\mapsto \cos(x).

Passo 2

Definimos
u(x)=\cos(x), \qquad g(u)=u^{6},
de modo que f(x)=g\bigl(u(x)\bigr).
Pela regra da cadeia vale
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).
Calculamos as derivadas individuais:
g'(u)=6\,u^{5}, \qquad u'(x)=-\sin(x).

Passo 3

Substituindo u(x)=\cos(x) em g'(u) e multiplicando por u'(x), obtemos
f'(x) =6\bigl(\cos(x)\bigr)^{5}\cdot\bigl(-\sin(x)\bigr) =-6\,\cos^{5}(x)\,\sin(x).

Resposta

f'(x)=-6\,\cos^{5}(x)\,\sin(x).

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