Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
g(z)=(1+\sqrt{z})^{2}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(z) = \bigl(1+\sqrt{z}\bigr)^{2}. Aqui vamos usar a regra da cadeia, lembrando que a derivada de \sqrt{z} = z^{1/2} é \tfrac12\,z^{-1/2} = \tfrac1{2\sqrt{z}}.

Passo 2

Identificamos a função externa e a interna:
f(u) = u^{2},
u(z) = 1 + \sqrt{z}.
As derivadas são
f'(u) = 2u,
u'(z) = \frac{1}{2\sqrt{z}}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
g'(z) = f'\bigl(u(z)\bigr)\,\cdot\,u'(z) = 2\bigl(1+\sqrt{z}\bigr)\,\cdot\,\frac{1}{2\sqrt{z}} = \frac{1+\sqrt{z}}{\sqrt{z}}.

Passo 4

Para simplificar, dividimos cada termo por \sqrt{z}:
\frac{1+\sqrt{z}}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{z}} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{z}} + 1.

Resposta

g'(z) = 1 + \frac{1}{\sqrt{z}}.

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