Exercício 35. Calcule a derivada das seguintes funções (envolvem regra da cadeia):
g(t)=\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-1}+1\right]^{-1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=\\ Bigl[\bigl(1+\tfrac{1}{t}\bigr)^{-1}+1\Bigr]^{-1}.
Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas, identificando camadas aninhadas.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias:
u(t)=1+\frac{1}{t},\quad v(u)=u^{-1},\quad w(v)=v+1,\quad g(w)=w^{-1}.
Pela regra da cadeia,
g'(t) =\frac{dg}{dw}\,\frac{dw}{dv}\,\frac{dv}{du}\,\frac{du}{dt}.

Passo 3

Calculamos cada derivada:
\frac{du}{dt}=-\frac{1}{t^{2}},\quad \frac{dv}{du}=-u^{-2},\quad \frac{dw}{dv}=1,\quad \frac{dg}{dw}=-w^{-2}.
Multiplicando e observando que há três sinais negativos no produto, obtemos
g'(t)=-\frac{1}{\,w^{2}\,u^{2}\,t^{2}\,}.

Passo 4

Substituímos u(t) e w(t):
u(t)=\frac{t+1}{t}, \qquad w(t)=v+1=u^{-1}+1 =\frac{1}{u}+1 =\frac{2t+1}{t+1}.
Então
w^{2}\,u^{2}\,t^{2} =\Bigl(\frac{2t+1}{t+1}\Bigr)^{2} \Bigl(\frac{t+1}{t}\Bigr)^{2}t^{2} =(2t+1)^{2}.
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g'(t)=-\frac{1}{(2t+1)^{2}}.

Resposta

g'(t)=-\frac{1}{(2t+1)^{2}}.

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