Exercício 35. Mostre as seguintes variações dos limites fundamentais
2^{\mathrm{O}} LF: \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e.
O conteúdo usado aqui é o cálculo de limites envolvendo exponencial e logaritmo, e em especial o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=(1+x)^{\frac1x},
que é positiva para x próximo de 0 (com x\neq -1). Como f(x)>0, podemos aplicar o logaritmo natural sem mudar o valor do limite, ou seja, vamos estudar
\ln f(x)=\frac1x\ln(1+x).

Passo 3

Calculamos
\lim_{x\to0}\ln f(x) =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}.
Como mencionado, usa‐se o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1
fazendo u=x. Portanto
\lim_{x\to0}\ln f(x)=1.

Passo 4

Se \lim_{x\to0}\ln f(x)=1, então
\lim_{x\to0}f(x) =\lim_{x\to0}e^{\ln f(x)} =e^1 =e.

Resposta

e

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