Exercício 36. Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{x}, k \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr)^{x},
onde k\neq0. O conteúdo aqui é limite de expressão do tipo exponencial, e vamos precisar usar a mudança
\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr)^{x} = \exp\bigl(x\ln(1+k/x)\bigr)
e depois calcular o limite do expoente.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty} x\,\ln\!\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr).
Como a função \exp é contínua, teremos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr)^{x} = \exp\bigl(L\bigr).
Agora falta achar L.

Passo 3

O limite
L = \lim_{x\to+\infty} x\,\ln\!\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr)
é uma forma indeterminada \infty\cdot0. Podemos reescrevê-lo como quociente:
L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\!\bigl(1+k/x\bigr)}{1/x}.
Aplicando o teorema de l’Hôpital (derivada do numerador e do denominador):
\frac{d}{dx}\ln\!\bigl(1+k/x\bigr) =\frac{-k/x^{2}}{1+k/x}, \quad \frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr)=-\frac{1}{x^{2}},
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L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\,-\,k/x^{2}}{(1+k/x)\,}\;\Big/\;\bigl(-1/x^{2}\bigr) = \lim_{x\to+\infty}\frac{k}{1+k/x} = k.

Passo 4

Como L = k, voltamos à exponencial e obtemos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{k}{x}\Bigr)^{x} = \exp(k).

Resposta

\displaystyle e^{k}

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