Exercício 35. Mostre as seguintes variações dos limites fundamentais
2^{\mathrm{Q}} LF: \lim _{x \rightarrow 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=e^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{x\to 0}(1-x)^{\frac1x}=e^{-1}
O conteúdo principal aqui é usar propriedades de logaritmo e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1
para transformar a potência em uma forma exponencial.

Passo 2

Definimos
y = (1-x)^{\frac1x}.
Para eliminar a potência, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \frac1x\,\ln\bigl(1-x\bigr).

Passo 3

Precisamos calcular
\lim_{x\to0}\ln y =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{x}.
Fazendo a troca u=-x, quando x\to0 tem-se u\to0 e
\frac{\ln(1-x)}{x} =\frac{\ln(1+u)}{-u} =-\frac{\ln(1+u)}{u}.
Pelo limite fundamental \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1-x)}{x} = -1.

Passo 4

Como \ln y\to -1, concluímos que
y = e^{\ln y}\;\longrightarrow\;e^{-1}.

Resposta

\lim_{x\to0}(1-x)^{\frac1x}=e^{-1}.

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