Exercício 35. Verifique quais das séries abaixo convergem:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{( \pm 1)^{k+1}}{\sqrt[3]{k}};

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\pm 1)^{k+1}}{\sqrt[3]{k}}
e pede para verificar quais das séries convergem. Vou interpretar isso como duas séries distintas que devemos analisar:
\text{(A)}\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{k}}
e
\text{(B)}\quad \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt[3]{k}}.
Informações importantes dadas: o termo geral em ambas é (em módulo) a_k=\dfrac{1}{\sqrt[3]{k}}=\dfrac{1}{k^{1/3}}. A pergunta é: cada uma dessas séries converge ou diverge?

Passo 2

Vou analisar a série (A) \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{1/3}}. Esta é uma série do tipo “p-série”, ou seja, \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^{p}} com p=\tfrac{1}{3}. Uma informação fundamental sobre p-séries é:
\text{a p-série } \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}} \text{ converge se, e somente se, } p>1.é
Vou justificar isso de forma simples usando o teste da integral: compare a série com a integral imprópria \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx. Se essa integral diverge, a série também diverge; se converge, a série converge (argumento padrão do teste da integral).

Passo 3

Calculo a integral para p=\tfrac{1}{3}:
\int_{1}^{\infty} x^{-1/3}\,dx = \left[\frac{x^{2/3}}{2/3}\right]_{1}^{\infty} = \frac{3}{2}\lim_{X\to\infty} \bigl(X^{2/3}-1\bigr).
Como X^{2/3}\to\infty quando X\to\infty, a integral diverge. Pelo teste da integral (ou pela regra dos p-séries), a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{1/3}}
diverge.

Passo 4

Agora analiso a série (B) \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^{1/3}}. Vou usar o critério de Leibniz (teste da série alternada). Esse critério diz que a série alternada \sum (-1)^{k} b_k converge se as seguintes condições ocorrerem:
  1. b_k\ge 0 para todo k;
  2. b_k é monotonicamente decrescente (a partir de algum k);
  3. \lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Aqui podemos tomar b_k=\dfrac{1}{k^{1/3}}.

Passo 5

Verifico as três condições para b_k=\dfrac{1}{k^{1/3}}:
  • Positividade: claramente b_k>0 para todo k.
  • Monotonicidade decrescente: para k\ge1 temos k+1>k\Rightarrow (k+1)^{1/3}>k^{1/3}, logo
\frac{1}{(k+1)^{1/3}} < \frac{1}{k^{1/3}},
ou seja, b_{k+1}<b_k. Portanto b_k é decrescente.
  • Limite nulo: \displaystyle\lim_{k\to\infty}\frac{1}{k^{1/3}}=0.
Como todas as condições do critério de Leibniz estão satisfeitas, a série alternada
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k^{1/3}}
converge.

Passo 6

Agora verifico se a convergência da série alternada é absoluta ou condicional. A série converge absolutamente se
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{k+1}}{k^{1/3}}\right|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{1/3}}
converge. Mas já vimos no Passo 3 que essa série diverge. Logo a série alternada não converge absolutamente. Conclusão: ela converge, porém apenas de forma condicional.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{k}} diverge.
\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt[3]{k}} converge condicionalmente.

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