Exercício 36. Calcule \iint_{D} \frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{5} d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{5}\,dx\,dy,
onde D é o disco centrado em (1,0) e de raio 1, isto é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid (x-1)^{2}+y^{2}\le 1\}.
Resumo do que foi dado e do que se pede:
  • Dados: a região D (disco centrado em (1,0) com raio 1) e a função integranda \dfrac{(x-1)^{2}+y^{2}}{5}.
  • Pedido: calcular a integral dupla sobre D dessa função.

Passo 2

Observação e estratégia: a integranda depende apenas de (x-1)^{2}+y^{2}, ou seja, depende da distância ao ponto (1,0). Isso sugere fazer uma mudança de variáveis que desloque o centro do disco para a origem, tornando a região um disco simples centrado na origem. Definimos as coordenadas traduzidas:
u=x-1,\qquad v=y.
Explicando bem: u é a coordenada horizontal medida a partir de x=1 e v é igual a y. Essa é apenas uma translação do sistema de coordenadas.

Passo 3

Efeito da mudança (x,y)\mapsto(u,v):
  • A região D em termos de (u,v) fica
D'=\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 \mid u^{2}+v^{2}\le 1\},
ou seja, o disco de raio 1 centrado na origem (peguei isso da definição de D: substituí x= u+1 e y=v).
  • A função integranda em (u,v) fica
\frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{5}=\frac{u^{2}+v^{2}}{5}.
  • Jacobiano da translação: uma translação tem Jacobiano igual a 1, isto é dx\,dy = du\,dv. Explicando: mudar as variáveis por u=x-1 e v=y é uma transformação linear afim com determinante 1, então a área não se altera além da substituição.

Passo 4

Agora convém usar coordenadas polares para a região D' (disco centrado na origem). Definimos
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com os parâmetros variando em
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta \le 2\pi.
Lembrete sobre o Jacobiano em coordenadas polares: du\,dv = r\,dr\,d\theta. Explicando o porquê: em polares um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta, por isso aparece o fator r.

Passo 5

Escrever a integral na nova parametrização. Substituindo a integranda e o Jacobiano, obtemos
\iint_{D}\frac{(x-1)^{2}+y^{2}}{5}\,dx\,dy = \iint_{D'}\frac{u^{2}+v^{2}}{5}\,du\,dv = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\frac{r^{2}}{5}\; r\,dr\,d\theta.
Expliquei cada passo: u^{2}+v^{2}=r^{2}, o fator 1/5 sai como constante, e du\,dv vira r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em r e \theta. Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1}\frac{r^{2}}{5}\; r\,dr=\frac{1}{5}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr.
A primitiva de r^{3} é \dfrac{r^{4}}{4}, logo
\frac{1}{5}\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\frac{1}{5}\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{20}.

Passo 7

Agora integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{20}\,d\theta=\frac{1}{20}\cdot\left[ \theta \right]_{0}^{2\pi}=\frac{1}{20}\cdot 2\pi=\frac{\pi}{10}.
Portanto o valor da integral é \dfrac{\pi}{10}.
Passo de verificação mental (rápido): para um disco de raio R vale
\iint_{ \{r\le R\} } r^{2}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi R^{4}}{2}.
Aqui R=1 e multiplicamos por 1/5, dando \dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{10}, que confirma o resultado.

Resposta

\dfrac{\pi}{10}

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