Exercício 36. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco centrado em
e de raio
, isto é
Resumo do que foi dado e do que se pede:
- Dados: a região
(disco centrado em com raio ) e a função integranda . - Pedido: calcular a integral dupla sobre
dessa função.
Passo 2
Observação e estratégia: a integranda depende apenas de
, ou seja, depende da distância ao ponto
. Isso sugere fazer uma mudança de variáveis que desloque o centro do disco para a origem, tornando a região um disco simples centrado na origem. Definimos as coordenadas traduzidas:
Explicando bem:
é a coordenada horizontal medida a partir de
e
é igual a
. Essa é apenas uma translação do sistema de coordenadas.
Passo 3
Efeito da mudança
:
- A região
em termos de fica
ou seja, o disco de raio
centrado na origem (peguei isso da definição de
: substituí
e
).
- A função integranda em
fica
- Jacobiano da translação: uma translação tem Jacobiano igual a
, isto é . Explicando: mudar as variáveis por e é uma transformação linear afim com determinante , então a área não se altera além da substituição.
Passo 4
Agora convém usar coordenadas polares para a região
(disco centrado na origem). Definimos
com os parâmetros variando em
Lembrete sobre o Jacobiano em coordenadas polares:
. Explicando o porquê: em polares um pequeno retângulo em
tem área aproximadamente
, por isso aparece o fator
.
Passo 5
Escrever a integral na nova parametrização. Substituindo a integranda e o Jacobiano, obtemos
Expliquei cada passo:
, o fator
sai como constante, e
vira
.
Passo 6
Calcular a integral em
e
. Primeiro a integral em
:
A primitiva de
é
, logo
Passo 7
Agora integrar em
:
Portanto o valor da integral é
.
Passo de verificação mental (rápido): para um disco de raio
vale
Aqui
e multiplicamos por
, dando
, que confirma o resultado.