Exercício 37. Calcule \iint_{D}\left(3 x^{2}+3(y-2)^{2}\right) d x d y, onde D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+(y-2)^{2} \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}\left(3 x^{2}+3(y-2)^{2}\right)\,dx\,dy,
onde a região D é o disco
D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+(y-2)^{2}\le 4\right\}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A função a integrar é 3x^{2}+3(y-2)^{2}.
  • A região D é um disco de centro (0,2) e raio 2.
  • É pedido o valor numérico da integral dupla \iint_{D}\bigl(3x^{2}+3(y-2)^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 2

Observação útil (sem calcular ainda): a presença de (y-2) no integrando e o fato de D ser um disco centrado em (0,2) sugere fazer uma translação de coordenadas para centralizar o disco na origem. Definimos as variáveis
u = x,\qquad v = y-2.
Com essa mudança:
  • o domínio D em (u,v) vira o disco \{(u,v)\mid u^{2}+v^{2}\le 4\}, isto é, disco de raio 2 centrado na origem;
  • a diferencial de área não muda por tradução, então dx\,dy = du\,dv.
Explicação curta: translação não altera comprimentos nem áreas, então o jacobiano da transformação (x,y)\mapsto(u,v)=(x,y-2) é 1.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em (u,v):
3x^{2}+3(y-2)^{2}=3u^{2}+3v^{2}=3(u^{2}+v^{2}).
Portanto a integral que queremos é
\iint_{D}\bigl(3x^{2}+3(y-2)^{2}\bigr)\,dx\,dy = 3\iint_{u^{2}+v^{2}\le 4}\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)\,du\,dv.

Passo 4

Agora usamos coordenadas polares em (u,v), porque o domínio é um disco e o integrando depende de u^{2}+v^{2}. Definimos
u = r\cos\theta,\qquad v = r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). A diferencial de área em polares é
du\,dv = r\,dr\,d\theta,
porque o jacobiano da transformação polares é r. (Dica prática: sempre que aparecer u^{2}+v^{2} e o domínio for circular, polares costuma simplificar bastante.)

Passo 5

Substituindo u^{2}+v^{2}=r^{2} e du\,dv=r\,dr\,d\theta na integral obtida no Passo 3, temos
3\iint_{u^{2}+v^{2}\le 4}\bigl(u^{2}+v^{2}\bigr)\,du\,dv = 3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta = 3\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calculamos a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} = \frac{16}{4} = 4.

Passo 7

Agora a integral em \theta:
3\int_{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^{2} r^{3}\,dr\right)d\theta =3\int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta =3\cdot 4 \cdot \bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} =12\cdot 2\pi = 24\pi.

Resposta

24\pi

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