Exercício 37. Calcule
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o disco
Informações dadas e o que se pede:
- A função a integrar é
. - A região
é um disco de centro e raio . - É pedido o valor numérico da integral dupla
.
Passo 2
Observação útil (sem calcular ainda): a presença de
no integrando e o fato de
ser um disco centrado em
sugere fazer uma translação de coordenadas para centralizar o disco na origem. Definimos as variáveis
Com essa mudança:
- o domínio
em vira o disco , isto é, disco de raio centrado na origem; - a diferencial de área não muda por tradução, então
.
Explicação curta: translação não altera comprimentos nem áreas, então o jacobiano da transformação
é
.
Passo 3
Reescrevendo o integrando em
:
Portanto a integral que queremos é
Passo 4
Agora usamos coordenadas polares em
, porque o domínio é um disco e o integrando depende de
. Definimos
com
e
. A diferencial de área em polares é
porque o jacobiano da transformação polares é
. (Dica prática: sempre que aparecer
e o domínio for circular, polares costuma simplificar bastante.)
Passo 5
Substituindo
e
na integral obtida no Passo 3, temos
Passo 6
Calculamos a integral interna em
:
Passo 7
Agora a integral em
: