Exercício 36. Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x},
que é um limite do tipo 0/0. O conteúdo envolvido é cálculo de limites indeterminados e podemos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que, em casos de forma indeterminada \tfrac{0}{0},
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Verificamos o tipo indeterminado: quando x\to0, \ln(1+x)\to\ln1=0 e x\to0,
logo temos 0/0 e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas no numerador e no denominador:
a derivada de \ln(1+x) em relação a x é \tfrac{1}{1+x} e a derivada de x é 1.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x} =\lim_{x\to 0}\frac{\tfrac{1}{1+x}}{1} =\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}.

Passo 4

Basta agora substituir x=0 em \tfrac{1}{1+x}:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x} =\frac{1}{1+0} =1.

Resposta

1

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