e pede: achar a e b em termos de c de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) } f\text{(c)}=\operatorname{sen}\text{(c)}\quad\text{(porque a definição usa }\operatorname{sen}(x)\text{ em }x\le c\text{);}
\text{(ii) } f(x)=\operatorname{sen}(x)\text{ para }x<c\quad\text{e}\quad f(x)=ax+b\text{ para }x>c.
O que o enunciado pede é que a derivada de f exista no ponto x=c, ou seja, que o limite da diferença quociente em c exista e seja o mesmo quando se aproxima por valores menores e maiores que c.]
Passo 2
Condição teórica necessária (explicação didática): para que f^{\prime}\text{(c)} exista é preciso, primeiro, que f seja contínua em c. Por que? Porque se a derivada existe em um ponto então a função é contínua nesse ponto. Em termos práticos, precisamos que os limites laterais de f em c coincidam com o valor f\text{(c)}. Em seguida, além da continuidade, precisamos que as derivadas laterais (o limite da diferença quociente vindo da esquerda e da direita) sejam iguais. Em símbolos:
Continuidades laterais — igualar os valores à esquerda e à direita em c.
Limite vindo da esquerda: para x\le c temos f(x)=\operatorname{sen}(x). Portanto
\lim_{x\to c^-}f(x)=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Limite vindo da direita: para x>c temos f(x)=ax+b. Então
\lim_{x\to c^+}f(x)=ac+b.
Como f\text{(c)}=\operatorname{sen}\text{(c)} (pela definição do problema), a continuidade em c exige
ac+b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Este é um relacionamento entre a, b e c que precisaremos usar.
Passo 4
Derivada lateral pela esquerda — explicar e calcular.
Para x<c a função é f(x)=\operatorname{sen}(x). Uma regra básica de derivação que usamos (e você deve saber memorizar) é: a derivada de \operatorname{sen}(x) em qualquer ponto é \cos(x). Em linguagem de limite:
Obs.: aqui usei a fórmula conhecida \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x). Se fizer na prova, cite essa regra ou mostre a prova curta da derivada do seno se o examinador exigir.
Passo 5
Derivada lateral pela direita — explicar e calcular.
Para x>c a função é linear f(x)=ax+b. A derivada de uma função linear ax+b é constante e igual a a. Em termos de limite:
porque o termo ac+b-f\text{(c)} é constante e cancela numa divisão por h quando consideramos a propriedade do limite, ficando apenas a. Portanto a derivada lateral pela direita é a.
Passo 6
Igualar as derivadas laterais para garantir existência da derivada.
Para que f^{\prime}\text{(c)} exista precisamos que as derivadas laterais coincidam:
\cos\text{(c)}=a.
Logo obtemos diretamente o valor de a em termos de c:
a=\cos\text{(c)}.
Passo 7
Usar continuidade para encontrar b.
Lembrando a condição de continuidade obtida no Passo 3:
ac+b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Substituímos a=\cos\text{(c)}:
\cos\text{(c)}\cdot c + b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Isolando b:
b=\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)}.
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): com a=\cos\text{(c)} e b=\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)} temos
contínua em c: ac+b=\cos\text{(c)}\,c+(\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)})=\operatorname{sen}\text{(c)}=f\text{(c)};
derivadas laterais iguais: esquerda \cos\text{(c)}, direita a=\cos\text{(c)}. Logo a derivada em c existe. Boa!