Exercício 36. Seja f a função definida como:
f(x)=\left\{\begin{array}{l} \operatorname{sen}(x) \text { se } x \leq c \\\ a x+b \text { se } x>c \end{array}\right.
Ache os valores de \mathbf{a}, \mathbf{b} em termos de \mathbf{c} de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
f(x)=\begin{cases} \operatorname{sen}(x), & x\le c,\\[4pt] ax+b, & x>c, \end{cases}
e pede: achar a e b em termos de c de modo que f^{\prime}\text{(c)} exista.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{(i) } f\text{(c)}=\operatorname{sen}\text{(c)}\quad\text{(porque a definição usa }\operatorname{sen}(x)\text{ em }x\le c\text{);}çã
\text{(ii) } f(x)=\operatorname{sen}(x)\text{ para }x<c\quad\text{e}\quad f(x)=ax+b\text{ para }x>c.
O que o enunciado pede é que a derivada de f exista no ponto x=c, ou seja, que o limite da diferença quociente em c exista e seja o mesmo quando se aproxima por valores menores e maiores que c.]

Passo 2

Condição teórica necessária (explicação didática): para que f^{\prime}\text{(c)} exista é preciso, primeiro, que f seja contínua em c. Por que? Porque se a derivada existe em um ponto então a função é contínua nesse ponto. Em termos práticos, precisamos que os limites laterais de f em c coincidam com o valor f\text{(c)}. Em seguida, além da continuidade, precisamos que as derivadas laterais (o limite da diferença quociente vindo da esquerda e da direita) sejam iguais. Em símbolos:
\text{(continuidade)}\quad \lim_{x\to c^-}f(x)=\lim_{x\to c^+}f(x)=f\text{(c)}.
\text{(derivada existindo)}\quad \lim_{h\to0^-}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}.
Vou aplicar essas condições ao nosso f.

Passo 3

Continuidades laterais — igualar os valores à esquerda e à direita em c.
  • Limite vindo da esquerda: para x\le c temos f(x)=\operatorname{sen}(x). Portanto
\lim_{x\to c^-}f(x)=\operatorname{sen}\text{(c)}.
  • Limite vindo da direita: para x>c temos f(x)=ax+b. Então
\lim_{x\to c^+}f(x)=ac+b.
Como f\text{(c)}=\operatorname{sen}\text{(c)} (pela definição do problema), a continuidade em c exige
ac+b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Este é um relacionamento entre a, b e c que precisaremos usar.

Passo 4

Derivada lateral pela esquerda — explicar e calcular.
Para x<c a função é f(x)=\operatorname{sen}(x). Uma regra básica de derivação que usamos (e você deve saber memorizar) é: a derivada de \operatorname{sen}(x) em qualquer ponto é \cos(x). Em linguagem de limite:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)\bigg|_{x=c}=\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(c+h)-\operatorname{sen}\text{(c)}}{h}=\cos\text{(c)}.
Então a derivada lateral vindo da esquerda em c é
\lim_{h\to0^-}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}=\cos\text{(c)}.
Obs.: aqui usei a fórmula conhecida \frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x). Se fizer na prova, cite essa regra ou mostre a prova curta da derivada do seno se o examinador exigir.

Passo 5

Derivada lateral pela direita — explicar e calcular.
Para x>c a função é linear f(x)=ax+b. A derivada de uma função linear ax+b é constante e igual a a. Em termos de limite:
\lim_{h\to0^+}\frac{f(c+h)-f\text{(c)}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{a(c+h)+b - f\text{(c)}}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{ac+ah+b-f\text{(c)}}{h}=a,
porque o termo ac+b-f\text{(c)} é constante e cancela numa divisão por h quando consideramos a propriedade do limite, ficando apenas a. Portanto a derivada lateral pela direita é a.

Passo 6

Igualar as derivadas laterais para garantir existência da derivada.
Para que f^{\prime}\text{(c)} exista precisamos que as derivadas laterais coincidam:
\cos\text{(c)}=a.
Logo obtemos diretamente o valor de a em termos de c:
a=\cos\text{(c)}.

Passo 7

Usar continuidade para encontrar b.
Lembrando a condição de continuidade obtida no Passo 3:
ac+b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Substituímos a=\cos\text{(c)}:
\cos\text{(c)}\cdot c + b=\operatorname{sen}\text{(c)}.
Isolando b:
b=\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)}.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): com a=\cos\text{(c)} e b=\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)} temos
  • contínua em c: ac+b=\cos\text{(c)}\,c+(\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)})=\operatorname{sen}\text{(c)}=f\text{(c)};
  • derivadas laterais iguais: esquerda \cos\text{(c)}, direita a=\cos\text{(c)}. Logo a derivada em c existe. Boa!

Resposta

a=\cos\text{(c)}
b=\operatorname{sen}\text{(c)}-c\cos\text{(c)}

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