Encontre as derivadas das seguintes funções:
f(x)=2^{x} \log _{3}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=2^{x}\log_{3}(x).
Informações relevantes dadas:
  • A função é o produto de duas funções: 2^{x} e \log_{3}(x).
  • O logaritmo \log_{3}(x) só está definido para x>0; portanto a derivada faz sentido em x>0.
  • O que queremos é f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Se temos duas funções u(x) e v(x) e f(x)=u(x)v(x), então a regra do produto diz
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui eu explico: u'(x) é a derivada de u em relação a x; a regra do produto basicamente soma “derivar o primeiro e deixar o segundo” com “deixar o primeiro e derivar o segundo”. É uma regra básica e muito útil para produtos.
Escolhemos
u(x)=2^{x},\qquad v(x)=\log_{3}(x).

Passo 3

Calculamos u'(x), a derivada de 2^{x}.
Lembra que uma exponencial com base a>0, a^{x}, pode ser reescrita usando a exponencial natural:
a^{x}=e^{x\ln a}.
No nosso caso a=2, então 2^{x}=e^{x\ln 2}. Derivando (regra da cadeia para e^{(\cdot)}):
\frac{d}{dx}e^{x\ln 2}=e^{x\ln 2}\cdot\frac{d}{dx}(x\ln 2).
Como \ln 2 é constante, \frac{d}{dx}(x\ln 2)=\ln 2. Assim
u'(x)=2^{x}\ln 2.
Em palavras: a derivada de a^{x} é a^{x}\ln a.

Passo 4

Agora calculamos v'(x), a derivada de \log_{3}(x).
Usamos a mudança de base: para todo x>0,
\log_{3}(x)=\frac{\ln x}{\ln 3},
onde \ln é o logaritmo natural e \ln 3 é constante. Derivando,
v'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right)=\frac{1}{\ln 3}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x).
E sabemos que \frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x} para x>0. Portanto
v'(x)=\frac{1}{x\ln 3}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\bigl(2^{x}\ln 2\bigr)\,\log_{3}(x)+2^{x}\cdot\frac{1}{x\ln 3}.
Podemos fatorar 2^{x} (pois aparece em ambos os termos) para deixar mais compacto:
f'(x)=2^{x}\!\left(\ln 2\cdot\log_{3}(x)+\frac{1}{x\ln 3}\right).
Se preferir expressar tudo em termos de logaritmo natural usando \log_{3}(x)=\dfrac{\ln x}{\ln 3}, uma forma alternativa é
f'(x)=\frac{2^{x}}{\ln 3}\!\left(\ln 2\cdot\ln x+\frac{1}{x}\right).

Resposta

f'(x)=2^{x}\!\left(\ln 2\cdot\log_{3}(x)+\frac{1}{x\ln 3}\right)

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