Encontre as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações relevantes dadas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - O logaritmo
só está definido para ; portanto a derivada faz sentido em . - O que queremos é
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos usar a regra do produto. Se temos duas funções
e
e
, então a regra do produto diz
Aqui eu explico:
é a derivada de
em relação a
; a regra do produto basicamente soma “derivar o primeiro e deixar o segundo” com “deixar o primeiro e derivar o segundo”. É uma regra básica e muito útil para produtos.
Escolhemos
Passo 3
Calculamos
, a derivada de
.
Lembra que uma exponencial com base
,
, pode ser reescrita usando a exponencial natural:
No nosso caso
, então
. Derivando (regra da cadeia para
):
Como
é constante,
. Assim
Em palavras: a derivada de
é
.
Passo 4
Agora calculamos
, a derivada de
.
Usamos a mudança de base: para todo
,
onde
é o logaritmo natural e
é constante. Derivando,
E sabemos que
para
. Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto com os resultados obtidos:
Substituindo
:
Podemos fatorar
(pois aparece em ambos os termos) para deixar mais compacto:
Se preferir expressar tudo em termos de logaritmo natural usando
, uma forma alternativa é