Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\left(1+3 x-5 x^{2}\right)^{30}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\left(1+3x-5x^{2}\right)^{30}.
Informações dadas:
  • A função é uma potência com expoente \,30.
  • A «parte de dentro» da potência é o polinômio \,1+3x-5x^{2}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática do método): regra da cadeia combinada com a regra do poder.
  • Regra do poder (caso simples): se y=x^{n} com n constante, então
\frac{dy}{dx}=n x^{n-1}.
Isto diz: para derivar uma potência de x, trazemos o expoente multiplicando e subtraímos 1 do expoente.
  • Regra da cadeia (ideia): se temos uma função composta y=(u(x))^{n}, onde u(x) é uma função de x, então primeiro aplicamos a regra do poder a u como se fosse a variável externa e depois multiplicamos pela derivada de u. Em fórmula:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)^{n}\bigr)=n\,u(x)^{\,n-1}\cdot u'(x).
Aqui:
  • u(x) é a função interna (no nosso caso u(x)=1+3x-5x^{2});
  • n é o expoente (no nosso caso n=30);
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Explicando com palavras: derivo a potência “por fora” (trago o 30 e reduzo o expoente para 29) e multiplico pela derivada da expressão que está dentro dos parênteses.

Passo 3

Agora identifique a função interna e calcule sua derivada:
u(x)=1+3x-5x^{2}.
Derivando termo a termo (regra: derivada de constante é 0; derivada de ax é a; derivada de ax^{2} é 2a x):
u'(x)=0+3-10x=3-10x.
Expliquei: a derivada de 1 é 0; de 3x é 3; de -5x^{2} é -5\cdot 2x=-10x.

Passo 4

Aplique a regra da cadeia com n=30, u(x)=1+3x-5x^{2} e u'(x)=3-10x:
f'(x)=30\bigl(1+3x-5x^{2}\bigr)^{29}\cdot(3-10x).
Posso reescrever numa ordem mais usual factorada:
f'(x)=30(3-10x)\bigl(1+3x-5x^{2}\bigr)^{29}.
Se quiser multiplicar o 30 por (3-10x) para expandir o coeficiente externo, dá
30(3-10x)=90-300x,
portanto outra forma equivalente é
f'(x)=(90-300x)\bigl(1+3x-5x^{2}\bigr)^{29}.

Passo 5

Exemplo rápido para fixar (aplicação do mesmo raciocínio): para g(x)=(2x+1)^{5} teríamos
g'(x)=5(2x+1)^{4}\cdot(2)=10(2x+1)^{4},
ou seja, sempre trazemos o expoente e multiplicamos pela derivada da expressão interna.

Resposta

f'(x)=30(3-10x)\bigl(1+3x-5x^{2}\bigr)^{29}

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