Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas:
- A função é uma potência com expoente
. - A «parte de dentro» da potência é o polinômio
. - A tarefa é encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática do método): regra da cadeia combinada com a regra do poder.
- Regra do poder (caso simples): se
com constante, então
Isto diz: para derivar uma potência de
, trazemos o expoente multiplicando e subtraímos 1 do expoente.
- Regra da cadeia (ideia): se temos uma função composta
, onde é uma função de , então primeiro aplicamos a regra do poder a como se fosse a variável externa e depois multiplicamos pela derivada de . Em fórmula:
Aqui:
-
é a função interna (no nosso caso ); -
é o expoente (no nosso caso ); -
é a derivada da função interna em relação a .
Explicando com palavras: derivo a potência “por fora” (trago o 30 e reduzo o expoente para 29) e multiplico pela derivada da expressão que está dentro dos parênteses.
Passo 3
Agora identifique a função interna e calcule sua derivada:
Derivando termo a termo (regra: derivada de constante é 0; derivada de
é
; derivada de
é
):
Expliquei: a derivada de
é
; de
é
; de
é
.
Passo 4
Aplique a regra da cadeia com
,
e
:
Posso reescrever numa ordem mais usual factorada:
Se quiser multiplicar o
por
para expandir o coeficiente externo, dá
portanto outra forma equivalente é
Passo 5
Exemplo rápido para fixar (aplicação do mesmo raciocínio): para
teríamos
ou seja, sempre trazemos o expoente e multiplicamos pela derivada da expressão interna.