Exercício 2.36 Use a igualdade acima para mostrar que
sempre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a igualdade
sempre que
.
Informações relevantes (a “igualdade acima” que o enunciado manda usar): a fórmula da soma da série geométrica, válida quando
,
Também é relevante a observação elementar de que, para
real,
.
Passo 2
Vou recordar e provar rapidamente a fórmula da série geométrica (para eu e você ficarmos tranquilos sobre sua validade). Seja
com
. Multiplicando por
obtemos
Logo, para todo
,
Agora, se
, então
quando
(porque potências de um número com módulo menor que
vão para zero). Portanto, passando ao limite em
,
o que justifica a fórmula da série geométrica para
.
Passo 3
Agora aplico essa fórmula ao caso do enunciado. Faço a substituição
Verifico a condição de convergência:
. Se
então
, logo
e posso usar a fórmula geométrica. Assim
Passo 4
Só organizar a potência negativa para ficar na forma pedida:
. Então a soma fica
Portanto, para todo
a série converge (até absolutamente, pois a razão dos termos sucessivos tem módulo
) e sua soma é
.
Passo 5
Para fixar: os primeiros termos dessa série são
e esses se somam a
sempre que
.