Exercício 2.36 Use a igualdade acima para mostrar que
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} x^{2 n}
sempre que |x|<1.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a igualdade
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n} x^{2 n}
sempre que |x|<1.
Informações relevantes (a “igualdade acima” que o enunciado manda usar): a fórmula da soma da série geométrica, válida quando |t|<1,
\sum_{n=0}^{+\infty} t^{n}=\frac{1}{1-t}.
Também é relevante a observação elementar de que, para x real, |-x^{2}|=x^{2}.

Passo 2

Vou recordar e provar rapidamente a fórmula da série geométrica (para eu e você ficarmos tranquilos sobre sua validade). Seja
S_{N}=\sum_{n=0}^{N} t^{n}=1+t+t^{2}+\cdots+t^{N},
com t\neq 1. Multiplicando por 1-t obtemos
(1-t)S_{N}=S_{N}-tS_{N}=(1+t+\cdots+t^{N})-(t+t^{2}+\cdots+t^{N+1})=1-t^{N+1}.
Logo, para todo N,
S_{N}=\frac{1-t^{N+1}}{1-t}.
Agora, se |t|<1, então t^{N+1}\to 0 quando N\to\infty (porque potências de um número com módulo menor que 1 vão para zero). Portanto, passando ao limite em N,
\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{1-t},
o que justifica a fórmula da série geométrica para |t|<1.

Passo 3

Agora aplico essa fórmula ao caso do enunciado. Faço a substituição
t=-x^{2}.
Verifico a condição de convergência: |t|=|-x^{2}|=x^{2}. Se |x|<1 então x^{2}<1, logo |t|<1 e posso usar a fórmula geométrica. Assim
\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\frac{1}{1+x^{2}}.

Passo 4

Só organizar a potência negativa para ficar na forma pedida: (-x^{2})^{n}=(-1)^{n}(x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}. Então a soma fica
\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Portanto, para todo |x|<1 a série converge (até absolutamente, pois a razão dos termos sucessivos tem módulo x^{2}<1) e sua soma é \dfrac{1}{1+x^{2}}.

Passo 5

Para fixar: os primeiros termos dessa série são
1 - x^{2} + x^{4} - x^{6} + \cdots,
e esses se somam a \dfrac{1}{1+x^{2}} sempre que |x|<1.

Resposta

\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}

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