A superfície S é a esfera de centro na origem e raio R. Ou seja, S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.
O que se pede exatamente: o fluxo total de \mathbf{F} através de S, isto é a integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal externo à esfera.
Passo 2
Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência).
Enunciado do Teorema de Gauss: se V é a região sólida (fechada e com fronteira lisa) e \partial V é a superfície que o limita com a orientação exterior, então para um campo vetorial suave \mathbf{F} vale
Preparar a integral tripla usando coordenadas esféricas e justificar a escolha.
A região B é uma bola centrada na origem; coordenadas esféricas são naturais. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (raio), \varphi (colatitude, ângulo desde o eixo z positivo) e \theta (azimute).
Comentário didático curto (truque rápido que vale na prova).
Observação alternativa e rápida: \nabla\cdot\mathbf{F}=12z(x^{2}+y^{2}+z^{2}) é uma função ímpar em z (isto é, troca de z por -z muda o sinal) multiplicada por r^{2} que é par; portanto o integrando total sobre a bola centrada na origem se anula por simetria em z. Assim o fluxo é zero sem calcular integrais — esse é um atalho muito útil em provas.