Q-6 (1 pt) Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(4 x^{3} z\right) \mathbf{i}+\left(4 y^{3} z\right) \mathbf{j}+\left(3 z^{4}\right) \mathbf{k}
através da esfera S com centro na origem e raio R.

Passo 1

Vamos deixar claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • O enunciado pede: calcular o fluxo do campo vetorial \mathbf{F} através da superfície S que é a esfera centrada na origem de raio R.
  • O campo vetorial fornecido é
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(4x^{3}z\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(4y^{3}z\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(3z^{4}\bigr)\,\mathbf{k}.
  • A superfície S é a esfera de centro na origem e raio R. Ou seja, S=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\}.
  • O que se pede exatamente: o fluxo total de \mathbf{F} através de S, isto é a integral de superfície
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o versor normal externo à esfera.

Passo 2

Apresentar a ferramenta que vamos usar: o Teorema de Gauss (também chamado Teorema da Divergência).
  • Enunciado do Teorema de Gauss: se V é a região sólida (fechada e com fronteira lisa) e \partial V é a superfície que o limita com a orientação exterior, então para um campo vetorial suave \mathbf{F} vale
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
  • Aqui V será a bola sólida B=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le R^{2}\} limitada pela esfera S=\partial B.
  • Ou seja, em vez de calcular diretamente a integral de superfície, vamos calcular a integral tripla do divergente de \mathbf{F} sobre a bola B.

Passo 3

Calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{F}. Explico o conceito e mostro as derivadas parciais passo a passo.
  • O divergente de um campo \mathbf{F}=(F_{1},F_{2},F_{3}) é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_{1}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z}.
  • No nosso caso F_{1}=4x^{3}z, F_{2}=4y^{3}z, F_{3}=3z^{4}.
  • Calcule cada derivada parcial:
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(4x^{3}z\bigr)=4\cdot 3x^{2}\cdot z=12x^{2}z. Aqui tratamos z como constante ao derivar em relação a x.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4y^{3}z\bigr)=4\cdot 3y^{2}\cdot z=12y^{2}z.
    • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3z^{4}\bigr)=3\cdot 4z^{3}=12z^{3}.
  • Somando,
\nabla\cdot\mathbf{F}=12x^{2}z+12y^{2}z+12z^{3}.
  • Factorizando 12z,
\nabla\cdot\mathbf{F}=12z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).

Passo 4

Preparar a integral tripla usando coordenadas esféricas e justificar a escolha.
  • A região B é uma bola centrada na origem; coordenadas esféricas são naturais. Em coordenadas esféricas usamos as variáveis \rho (raio), \varphi (colatitude, ângulo desde o eixo z positivo) e \theta (azimute).
  • As fórmulas de mudança de variável são
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi,
e o elemento de volume é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • As faixas de integração são
0\le\rho\le R,\qquad 0\le\varphi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
  • Substituir \nabla\cdot\mathbf{F}=12z\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr) em coordenadas esféricas:
    • z=\rho\cos\varphi.
    • x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2}.
    • Logo o integrando fica 12(\rho\cos\varphi)\cdot\rho^{2}=12\rho^{3}\cos\varphi.
  • Multiplicando pelo dV,
\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = 12\rho^{3}\cos\varphi\cdot \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =12\rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Montar e calcular a integral tripla explicitamente, passo a passo.
  • Pelo Teorema de Gauss,
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_{B}\nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
  • Em coordenadas esféricas:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} 12\rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
  • Integramos em \theta primeiro (não depende de \theta):
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
então ficamos com
2\pi\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R} 12\rho^{5}\cos\varphi\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi.
  • Integramos em \rho:
\int_{0}^{R}12\rho^{5}\,d\rho =12\cdot\frac{\rho^{6}}{6}\Big|_{0}^{R}=12\cdot\frac{R^{6}}{6}=2R^{6}.
  • Agora a integral em \varphi fica
2\pi\cdot(2R^{6})\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =4\pi R^{6}\int_{0}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
  • Calcule a integral de \varphi. Uma primitiva simples é
\int \cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\frac{1}{2}\sin^{2}\varphi + C.
Avaliando de 0 a \pi,
\frac{1}{2}\sin^{2}\varphi\Big|_{0}^{\pi}=\frac{1}{2}\bigl(\sin^{2}\pi-\sin^{2}0\bigr)=\frac{1}{2}(0-0)=0.
  • Portanto o fator angular é zero, e o produto todo é zero. Conclusão do cálculo:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = 4\pi R^{6}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Comentário didático curto (truque rápido que vale na prova).
  • Observação alternativa e rápida: \nabla\cdot\mathbf{F}=12z(x^{2}+y^{2}+z^{2}) é uma função ímpar em z (isto é, troca de z por -z muda o sinal) multiplicada por r^{2} que é par; portanto o integrando total sobre a bola centrada na origem se anula por simetria em z. Assim o fluxo é zero sem calcular integrais — esse é um atalho muito útil em provas.

Resposta

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