Exercício 2.30 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Encontrar o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{(-1)^{n} x^{n}}{n^{2}}.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge).
Informações dadas:
A série é centrada em 0 e seu termo geral é \dfrac{(-1)^{n} x^{n}}{n^{2}}.
Podemos identificar os coeficientes da série de potências (em torno de zero) como a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{n^{2}} para n\ge 1.
Passo 2
Vamos explicar como calcular o raio de convergência R. Uma fórmula prática é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|},
onde a_n são os coeficientes da série (aqui a_n=\dfrac{(-1)^n}{n^2}). Essa fórmula diz: se a sequência \sqrt[n]{|a_n|} tiver limite superior, então o inverso desse limite superior é o raio R. Intuitivamente, quanto mais rápido os coeficientes decaem, maior é o raio de convergência.
Passo 3
Calcular \sqrt[n]{|a_n|} para os nossos coeficientes:
Comentário didático: também era possível observar que n^{1/n}\to 1 e portanto n^{-2/n}=(n^{1/n})^{-2}\to1. O ponto essencial é que os coeficientes decaem como 1/n^{2} (muito mais lento que uma exponencial), então o raio fica determinado pelo comportamento da potência x^{n}, resultando em R=1.
Passo 5
Agora precisamos decidir o que acontece nos pontos extremos |x|=1, ou seja x=1 e x=-1. Como regra: a série converge absolutamente para |x|<R e diverge para |x|>R; para |x|=R é preciso testar caso a caso.
Teste em x=1:
A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^{2}}.
Para verificar convergência absoluta, calcule a série dos módulos:
Isto é uma série p-com p=2>1, conhecida por convergir (série de Basel). Portanto a série original em x=1 converge absolutamente (e, portanto, converge).
que, como já foi mencionado, converge (série p com p=2). Logo em x=-1 a série converge (na verdade converge absolutamente).
Passo 7
Conclusão dos testes nos extremos: em ambos x=1 e x=-1 a série converge (e de forma absoluta). Para |x|<1 a série converge absolutamente por comparação com uma série geométrica (por exemplo, |x|^n/n^2\le |x|^n para n\ge1 quando |x|<1), e para |x|>1 os termos não tendem a zero (pois |x|^n/n^2\to\infty), logo diverge.
Resposta
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: [-1,1].