Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to0^+} x\,\operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)
usando a Regra de L’Hôpital. O conteúdo envolvido é manipulação de indeterminações do tipo 0\cdot\infty e aplicação de derivadas para resolver uma forma 0/0.

Passo 2

Observamos que \operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr)=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}.
Então a expressão vira
x\,\operatorname{tg}\bigl(\tfrac{\pi}{2}-x\bigr) = x\cot x = \frac{x\cos x}{\sin x}\,.

Passo 3

Quando x\to0^+, o numerador x\cos x\to0 e o denominador \sin x\to0, logo temos uma indeterminação do tipo 0/0. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador: \frac{d}{dx}(x\cos x)=\cos x - x\sin x,
denominador: \frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to0^+}\frac{x\cos x}{\sin x} =\lim_{x\to0^+}\frac{\cos x - x\sin x}{\cos x}\,.

Passo 5

Agora substituímos x=0 na expressão simplificada:
\frac{\cos0 - 0\cdot\sin0}{\cos0} =\frac{1-0}{1} =1.

Resposta

1

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