Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen}(x) \ln (x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0^{+}}\sin(x)\,\ln(x)
usando a Regra de L’Hospital. O tipo de indeterminação é 0\cdot(-\infty), então vamos reescrever o produto como quociente para aplicar L’Hospital.

Passo 2

Reescrevemos
\sin(x)\,\ln(x) =\frac{\ln(x)}{\cfrac{1}{\sin(x)}} =\frac{\ln(x)}{\csc(x)}.
Quando x\to0^{+} temos \ln(x)\to-\infty e \csc(x)=1/\sin(x)\to+\infty, ou seja, indeterminação \tfrac{-\infty}{+\infty}.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
numerador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x},
denominador:
\frac{d}{dx}\bigl[\csc(x)\bigr] =\frac{d}{dx}\bigl[(\sin(x))^{-1}\bigr] =-\csc(x)\cot(x).
Logo o limite vira
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\tfrac{1}{x}}{-\csc(x)\cot(x)} =-\,\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{x\,\csc(x)\cot(x)}.

Passo 4

Simplificamos x\,\csc(x)\cot(x):
x\,\csc(x)\cot(x) =x\frac{1}{\sin(x)}\frac{\cos(x)}{\sin(x)} =\frac{x\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.
Logo o limite é
-\,\lim_{x\to0^{+}}\frac{1}{\frac{x\cos(x)}{\sin^{2}(x)}} =-\,\lim_{x\to0^{+}}\frac{\sin^{2}(x)}{x\cos(x)}.
Como \sin(x)\sim x e \cos(x)\to1, temos
\frac{\sin^{2}(x)}{x\cos(x)} \sim\frac{x^{2}}{x\cdot1}=x,
portanto o limite vale -\,\lim_{x\to0^{+}}x=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados