Exercício 4.37 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}+x^{2}}{e^{x}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}+x^{2}}{e^{x}-x}
Usamos a Regra de L’Hospital porque, à medida que x\to+\infty, tanto o numerador quanto o denominador tendem a +\infty, caracterizando uma forma indeterminada \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 2

Aplicando a Regra de L’Hospital pela primeira vez, derivamos numerador e denominador:
\text{numerador}' = (e^{x}+x^{2})' = e^{x} + 2x,
\text{denominador}' = (e^{x}-x)' = e^{x} - 1.
Isso leva ao limite equivalente
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}+2x}{e^{x}-1}.
Como de novo obtemos \tfrac{\infty}{\infty}, podemos aplicar L’Hospital outra vez.

Passo 3

Derivando uma segunda vez, temos
\text{numerador}'' = (e^{x}+2x)' = e^{x} + 2,
\text{denominador}'' = (e^{x}-1)' = e^{x}.
O limite fica
\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}+2}{e^{x}}.

Passo 4

Reescrevendo a fração:
\frac{e^{x}+2}{e^{x}} = 1 + 2\,e^{-x}.
Quando x\to+\infty, o termo 2\,e^{-x} vai a zero. Logo o limite é
1 + 0 = 1.

Resposta

1

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