Exercício 37 (Retas e planos associados) Considerem-se as retas com equações paramétricas
\left(R_{1}\right):\left\{\begin{array}{l} x=1+1 s \\\ y=1+2 s \\\ z=-3-1 s \end{array} \quad(s \in \mathbb{R}) ; \quad\left(R_{2}\right):\left\{\begin{array}{l} x=0+2 t \\\ y=-4+1 t \\\ z=2+3 t \end{array} \quad(t \in \mathbb{R})\right.\right.
37.1 Mostrar que as retas \left(R_{1}\right) e \left(R_{2}\right) não são paralelas.
37.2 Determinar uma equação geral do plano ( P_{1} ) que contém a reta ( R_{1} ) e é paralelo à reta \left(R_{2}\right). Determinar uma equação geral do plano ( P_{2} ) que contém a reta ( R_{2} ) e é paralelo à reta ( R_{1} ). Deduzir que as retas \left(R_{1}\right) e ( R_{2} ) não são concorrentes.
37.3 Determinar uma equação geral do plano ( P_{3} ) que contém a origem das coordenadas e é perpendicular à reta \left(R_{1}\right). Determinar as coordenadas do ponto M=\left(R_{1}\right) \cap\left(P_{3}\right), interseção da reta \left(R_{1}\right) com o plano ( P_{3} ).
37.4 Mostrar que os planos \left(P_{2}\right) e \left(P_{3}\right) têm interseção não vazia.
Passo 1
O enunciado fornece as retas (R_1)\) e \((R_2)\) em \(\mathbb R^3\) com equações paramétricas
\[(R_1):\begin{cases} x=1+s,\\\ y=1+2s,\\\ z=-3 - s, \end{cases}\quad (R_2):\begin{cases} x=2t,\\\ y=-4+t,\\\ z=2+3t, \end{cases}
e pede: mostrar que não são paralelas; determinar os planos P_1\] (contém \(R_1 e é paralelo a R_2) e P_2 (contém R_2 e é paralelo a R_1) e concluir que as retas não se cruzam; achar o plano P_3 (passa pela origem e é perpendicular a R_1) e o ponto M=R_1\cap P_3; e, por fim, mostrar que P_2 e P_3 intersectam-se não vaziamente. O conteúdo usado será geometria analítica vetorial: vetores–direção, testes de paralelismo, equação de plano e interseção.
Como \mathbf v_1 não é múltiplo escalar de \mathbf v_2, segue que (R_1) e (R_2)não são paralelas.
Passo 3
Para achar P_1: este plano deve conter R_1 (portanto o ponto A=(1,1,-3) e o vetor \mathbf v_1) e ser paralelo a R_2 (logos deve conter \mathbf v_2). Logo um normal a P_1 é
Analogamente para P_2: contém R_2 (o ponto B=(0,-4,2) e \mathbf v_2) e contém \mathbf v_1. O normal é o mesmo \mathbf n_1=(7,-5,-3), e a equação de P_2 é
Como P_1 e P_2 têm o mesmo normal mas constantes diferentes, são planos paralelos distintos. Logo (R_1)\subset P_1 e (R_2)\subset P_2 não se intersectam, isto é, as retas não são concorrentes.
Passo 5
Para P_3: o plano passa pela origem e é perpendicular a (R_1), logo seu normal é \mathbf v_1=(1,2,-1). A equação de P_3 é
1\cdot x +2\cdot y -1\cdot z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x+2y-z=0.
Para achar M=R_1\cap P_3, substituímos em x+2y-z=0 as coordenadas de R_1:
Os planos P_2\colon7x-5y-3z-14=0 e P_3\colon x+2y-z=0 têm normais \mathbf n_1=(7,-5,-3) e \mathbf n_3=(1,2,-1) não colineares, logo não são paralelos e portanto intersectam-se num conjunto de pontos (uma reta), mostrando que a interseção não é vazia.
Resposta
37.1 As retas não são paralelas porque (1,2,-1) não é múltiplo escalar de (2,1,3).
37.2 P_1:7x-5y-3z-11=0, P_2:7x-5y-3z-14=0; como são planos paralelos distintos, (R_1) e (R_2) não se cruzam.
37.3 P_3:x+2y-z=0; ponto M=(0,-1,-2).
37.4
Os planos P_2 e P_3 têm normais não colineares, logo intersectam-se não vazamente.