Exercício 39 (Reta que contém um ponto e intercepta outras duas retas) Determinar as equações das retas no espaço que contêm o ponto A(1 ; 2 ; 3) e interceptam as retas
O enunciado pede a(s) reta(s) L\) que passa(m) por \(A(1,2,3)\) e intercepta(m) simultaneamente as retas
\[R_{1}:\begin{cases} x+y+z=-2,\\\ x-y-z=-3 \end{cases} \quad\text{e}\quad R_{2}:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{4}.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: vamos usar parametrizações de R_1\] e \(R_2 e impor que um ponto P\in R_1, um ponto Q\in R_2 e A sejam colineares, o que garante que a reta AQ intercepta ambas.
Passo 2
Parametrizamos cada reta.
Para R_1, das equações
x+y+z=-2,\quad x-y-z=-3
tiramos x=-\tfrac52 e y+z=\tfrac12. Seja t=y. Então
P(t)=\bigl(-\tfrac52,\;t,\;\tfrac12-t\bigr).
Para R_2, seja s o parâmetro comum, então
Q(s)=\bigl(1+2s,\;1+s,\;3+4s\bigr).
Passo 3
A condição de colinearidade entre A, P e Q é que exista \lambda tal que