Exercício 38 (Projeção ortogonal) Considerem-se os pontos A(-1 ; 1 ; 2), B(0 ; 0 ; 1), C(0 ;-1 ;-2).
38.1 Mostrar que os pontos A, B, C não são alinhados. Determinar uma equação cartesiana do plano (A B C).
38.2 Considere-se o ponto M(8 ; 10 ; 5). Determinar uma represntação paramé-
trica da reta (R) que contém o ponto M e é perpendicular ao plano (A B C).
38.3 Determinar as coordenadas do ponto H, interseção da reta (R) com o plano ( A B C ).

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A(-1,1,2),\quad B(0,0,1),\quad C(0,-1,-2)
e pede:
  1. Mostrar que A,B,C não são alinhados e obter a equação cartesiana do plano (ABC).
  2. Para M(8,10,5), achar a parametrização da reta (R) passando por M e perpendicular a (ABC).
  3. Determinar o ponto H=(R)\cap(ABC).
    Vamos usar cálculo de vetores: colinearidade, produto vetorial para achar normal do plano, equação do plano, e interseção de reta e plano.

Passo 2

Calcular \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-(-1),\,0-1,\,1-2)=(1,-1,-1),
\overrightarrow{AC}=C-A=(0-(-1),\,-1-1,\,-2-2)=(1,-2,-4).
Se fossem colineares teríamos \overrightarrow{AB}=\lambda\,\overrightarrow{AC}, mas não existe \lambda que satisfaça simultaneamente
1=\lambda\cdot1,\quad -1=\lambda\cdot(-2),\quad -1=\lambda\cdot(-4),
pois dessas três igualdades se obtêm \lambda=1, \lambda=\tfrac12 e \lambda=\tfrac14, contraditórias. Logo A,B,C não são alinhados.

Passo 3

Para a equação do plano (ABC) precisamos de um vetor normal \mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Fazendo o produto vetorial:
\mathbf{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&-1&-1\\\\ 1&-2&-4 \end{vmatrix} =(2,\,3,\,-1).
A equação vetorial do plano é \mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0, ou seja
2(x+1)+3(y-1)-1(z-2)=0
que simplifica para
2x+3y -z +1=0.

Passo 4

A reta (R) passa por M(8,10,5) e é perpendicular ao plano, logo sua direção é \mathbf{n}=(2,3,-1). Uma parametrização é
x=8+2t,\quad y=10+3t,\quad z=5 -t,\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para encontrar H resolvemos a interseção com o plano 2x+3y-z+1=0. Substituindo:
2(8+2t)+3(10+3t)-(5-t)+1=0 \;\Longrightarrow\;42+14t=0 \;\Longrightarrow\;t=-3.
Logo
H\bigl(8+2(-3),\,10+3(-3),\,5-(-3)\bigr)=(2,1,8).

Resposta

38.1) Os pontos A,B,C não são alinhados e a equação do plano (ABC) é
2x+3y-z+1=0.
38.2) A reta (R) tem representação paramétrica
x=8+2t,\quad y=10+3t,\quad z=5-t,\quad t\in\mathbb{R}.
38.3) O ponto de interseção é
H=(2,\,1,\,8).

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