Exercício 37: Seja X o número de caras observadas em 40 lançamentos de uma moeda honesta. Determine a probabilidade de X=20. Utilize a aproximação normal e então compare com o resultado obtido através da distribuição binomial.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, em 40 lançamentos de uma moeda honesta, o número de caras seja exatamente 20. Informação dada importante:
\text{número de ensaios } n = 40,ú
\text{probabilidade de sucesso (cara) em cada ensaio } p = 0,5.
As tarefas pedidas são: (1) determinar \mathbb{P}(X=20) usando a aproximação normal; (2) comparar esse resultado com o valor exato obtido pela distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição binomial e a fórmula do caso exato. Se X é o número de caras em n lançamentos independentes com probabilidade p de cara por lançamento, então
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
é o coeficiente binomial. Aqui queremos k=20, n=40, p=0,5, logo a probabilidade exata é
\mathbb{P}(X=20)=\binom{40}{20}(0,5)^{20}(0,5)^{20}=\binom{40}{20}(0,5)^{40}.
Também é útil calcular a média e a variância da binomial, porque elas aparecem na aproximação normal:
\mu = np,\qquad \sigma^{2}=np(1-p).
No nosso caso:
\mu = 40\cdot 0,5 = 20,
\sigma^{2}=40\cdot 0,5\cdot 0,5 = 10,
\sigma=\sqrt{10}\approx 3,1623.

Passo 3

Agora calculemos a probabilidade exata usando a fórmula binomial. Usando a expressão do coeficiente binomial,
\mathbb{P}(X=20)=\binom{40}{20}\,2^{-40}.
O valor do coeficiente é (pode ser obtido por cálculo direto ou tabela de binomiais)
\binom{40}{20}=137846528820.
Portanto
\mathbb{P}(X=20)=\dfrac{137846528820}{2^{40}}=\dfrac{137846528820}{1099511627776}\approx 0,12541.
Interpretação rápida: cerca de 12{,}541\% de chance de obter exatamente 20 caras em 40 lançamentos.

Passo 4

Agora a aproximação normal. Ideia: quando n é grande e p não é próximo de 0 ou 1, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média \mu=np e variância \sigma^{2}=np(1-p). Para probabilidades de um único valor discreto k usamos a correção de continuidade: aproximamos
\mathbb{P}(X=k)\approx \mathbb{P}\big(k-0,5 < Y < k+0,5\big),
onde Y\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}). Aqui k=20, então usaremos o intervalo (19{,}5,20{,}5).

Passo 5

Convertendo para a normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1) com Z=(Y-\mu)/\sigma, temos
\mathbb{P}(19{,}5<Y<20{,}5)=\mathbb{P}\!\Big(\frac{19{,}5-\mu}{\sigma}<Z<\frac{20{,}5-\mu}{\sigma}\Big).
Substituindo \mu=20 e \sigma=\sqrt{10}:
z_{1}=\frac{19{,}5-20}{\sqrt{10}}=-\frac{0{,}5}{\sqrt{10}}\approx -0{,}1581139,
z_{2}=\frac{20{,}5-20}{\sqrt{10}}=+\frac{0{,}5}{\sqrt{10}}\approx +0{,}1581139.
Logo a probabilidade aproximada é
\mathbb{P}(X=20)\approx \Phi(z_{2})-\Phi(z_{1})=\Phi(0{,}1581139)-\Phi(-0{,}1581139),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando a simetria de \Phi (isto é, \Phi(-z)=1-\Phi(z)) obtemos
\Phi(0{,}1581139)-\Phi(-0{,}1581139)=2\Phi(0{,}1581139)-1.

Passo 6

Para obter o valor numérico de \Phi(0{,}1581139) podemos usar uma tabela da normal padrão ou uma expansão para z pequeno. Uma aproximação de primeira ordem é
\Phi(z)\approx 0{,}5 + \frac{z}{\sqrt{2\pi}}
para z pequeno, porque a densidade em zero é \varphi(0)=1/\sqrt{2\pi}\approx 0{,}3989423. Assim
\Phi(0{,}1581139)\approx 0{,}5 + 0{,}1581139\cdot 0{,}3989423 \approx 0{,}56308.
Portanto
\mathbb{P}(X=20)\approx 2\cdot 0{,}56308 - 1 \approx 0{,}12616.
(Usando uma tabela ou calculadora mais precisa para \Phi daria um valor muito próximo: \approx 0{,}12616.)

Passo 7

Comparação final: o valor obtido pela aproximação normal com correção de continuidade é \approx 0{,}12616, enquanto o valor exato pela binomial é \approx 0{,}12541. A diferença absoluta é pequena:
0{,}12616 - 0{,}12541 \approx 0{,}00075,
ou seja, a aproximação normal está certa até a terceira casa decimal aqui — muito boa para n=40 e p=0{,}5. Isso mostra que a correção de continuidade ajuda a obter uma aproximação muito próxima do valor exato.

Resposta

Aproximação normal (com correção de continuidade): 0,12616
Exata (binomial): 0,12541

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