Exercício 37: Seja
o número de caras observadas em 40 lançamentos de uma moeda honesta. Determine a probabilidade de
. Utilize a aproximação normal e então compare com o resultado obtido através da distribuição binomial.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, em 40 lançamentos de uma moeda honesta, o número de caras seja exatamente 20. Informação dada importante:
As tarefas pedidas são: (1) determinar
usando a aproximação normal; (2) comparar esse resultado com o valor exato obtido pela distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição binomial e a fórmula do caso exato. Se
é o número de caras em
lançamentos independentes com probabilidade
de cara por lançamento, então
onde
é o coeficiente binomial. Aqui queremos
,
,
, logo a probabilidade exata é
Também é útil calcular a média e a variância da binomial, porque elas aparecem na aproximação normal:
No nosso caso:
Passo 3
Agora calculemos a probabilidade exata usando a fórmula binomial. Usando a expressão do coeficiente binomial,
O valor do coeficiente é (pode ser obtido por cálculo direto ou tabela de binomiais)
Portanto
Interpretação rápida: cerca de
de chance de obter exatamente 20 caras em 40 lançamentos.
Passo 4
Agora a aproximação normal. Ideia: quando
é grande e
não é próximo de
ou
, a distribuição binomial pode ser aproximada por uma normal com média
e variância
. Para probabilidades de um único valor discreto
usamos a correção de continuidade: aproximamos
onde
. Aqui
, então usaremos o intervalo
.
Passo 5
Convertendo para a normal padrão
com
, temos
Substituindo
e
:
Logo a probabilidade aproximada é
onde
é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Usando a simetria de
(isto é,
) obtemos
Passo 6
Para obter o valor numérico de
podemos usar uma tabela da normal padrão ou uma expansão para z pequeno. Uma aproximação de primeira ordem é
para
pequeno, porque a densidade em zero é
. Assim
Portanto
(Usando uma tabela ou calculadora mais precisa para
daria um valor muito próximo:
.)
Passo 7
Comparação final: o valor obtido pela aproximação normal com correção de continuidade é
, enquanto o valor exato pela binomial é
. A diferença absoluta é pequena:
ou seja, a aproximação normal está certa até a terceira casa decimal aqui — muito boa para
e
. Isso mostra que a correção de continuidade ajuda a obter uma aproximação muito próxima do valor exato.
Resposta
Aproximação normal (com correção de continuidade):
Exata (binomial):
Exata (binomial):