Exercício 36: Se X é uma variável aleatória normal com parâmetro \mu=3 e \sigma^{2}=9, determine P(2<X<5), P(X>0) e P(|X-3|>6).

Passo 1

O enunciado dá que X é uma variável aleatória com distribuição normal de média \mu=3 e variância \sigma^{2}=9. Ou seja, \sigma=3. Ele pede três probabilidades:
  1. P(2<X<5)
  2. P(X>0)
  3. P(|X-3|>6)
Informações relevantes que vamos usar (apenas listar aqui, sem resolver ainda):
\mu=3,\qquad \sigma^{2}=9,\qquad \sigma=3.

Passo 2

Vamos transformar X em uma variável normal padrão para poder usar a tabela (ou função) da normal padrão. A transformação padrão é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{X-3}{3},
onde Z tem distribuição normal padrão, isto é, Z\sim N(0,1).
Conceitos importantes que vou usar (explicando com calma):
  • A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por \Phi(z)=P(Z\le z).
  • Para probabilidades entre dois pontos usamos
P(a<X<b)=P\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}<Z<\frac{b-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
  • Simetria da normal padrão: \Phi(-z)=1-\Phi(z). Isso é útil para trocar probabilidades à esquerda por probabilidades à direita.
    Essas fórmulas são padrão e você pode aplicá-las direto na prova: primeiro padroniza, depois consulta \Phi.

Passo 3

Calcular P(2<X<5).
Primeiro padronizo os limites:
\frac{2-3}{3}=-\frac{1}{3}\approx -0,3333,\qquad \frac{5-3}{3}=\frac{2}{3}\approx 0,6667.
Portanto
P(2<X<5)=P\!\left(-\tfrac{1}{3}<Z<\tfrac{2}{3}\right)=\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)-\Phi\!\left(-\tfrac{1}{3}\right).
Usando a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) escrevo
\Phi\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=1-\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right),
logo
P(2<X<5)=\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+\Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right)-1.
Agora precisamos dos valores numéricos de \Phi. Consultando tabela da normal padrão (ou usando calculadora de \Phi) obtemos, por interpolação simples:
\Phi\!\left(\tfrac{2}{3}\right)\approx 0,7471,\qquad \Phi\!\left(\tfrac{1}{3}\right)\approx 0,6306.
Substituindo:
P(2<X<5)\approx 0,7471+0,6306-1=0,3777.
Então o primeiro resultado numérico é aproximadamente 0,3777. (Se você usar outra tabela pode aparecer 0,378 ao arredondar.)

Passo 4

Calcular P(X>0).
Padronizo:
\frac{0-3}{3}=-1.
Assim
P(X>0)=P\!\left(Z>-1\right).
Usando \Phi,
P(Z>-1)=1-P(Z\le -1)=1-\Phi(-1)=1-(1-\Phi(1))=\Phi(1).
Da tabela \Phi(1)\approx 0,8413. Portanto
P(X>0)\approx 0,8413.

Passo 5

Calcular P(|X-3|>6).
Interpretação: |X-3|>6 significa que a distância de X à média 3 é maior que 6. Isso é equivalente ao evento X>9 ou X< -3. Então
P(|X-3|>6)=P(X>9)+P(X<-3).
Padronizando:
\frac{9-3}{3}=2,\qquad \frac{-3-3}{3}=-2.
Logo
P(|X-3|>6)=P(Z>2)+P(Z<-2).
Pela simetria P(Z<-2)=P(Z>2), então
P(|X-3|>6)=2\,P(Z>2)=2\bigl(1-\Phi(2)\bigr).
Da tabela \Phi(2)\approx 0,97725. Então
P(|X-3|>6)=2(1-0,97725)=2(0,02275)=0,0455.

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (para fixar): transformar para Z=(X-3)/3 é o passo que abre a porta para usar \Phi. Use sempre a simetria \Phi(-z)=1-\Phi(z) para simplificar cálculo de probabilidades à esquerda. No tempo da prova, calcule os z-scores, ache os \Phi (tabela ou calculadora) e monte a diferença ou soma conforme o caso. Você conseguiu — essas foram as três aplicações diretas dessa técnica.

Resposta

P(2<X<5)\approx 0,3777
P(X>0)\approx 0,8413
P(|X-3|>6)\approx 0,0455

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