Exercício 36: Se
é uma variável aleatória normal com parâmetro
e
, determine
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória com distribuição normal de média
e variância
. Ou seja,
. Ele pede três probabilidades:
Informações relevantes que vamos usar (apenas listar aqui, sem resolver ainda):
Passo 2
Vamos transformar
em uma variável normal padrão para poder usar a tabela (ou função) da normal padrão. A transformação padrão é
onde
tem distribuição normal padrão, isto é,
.
Conceitos importantes que vou usar (explicando com calma):
- A função de distribuição acumulada da normal padrão é denotada por
. - Para probabilidades entre dois pontos usamos
- Simetria da normal padrão:
. Isso é útil para trocar probabilidades à esquerda por probabilidades à direita.
Essas fórmulas são padrão e você pode aplicá-las direto na prova: primeiro padroniza, depois consulta.
Passo 3
Calcular
.
Primeiro padronizo os limites:
Portanto
Usando a simetria
escrevo
logo
Agora precisamos dos valores numéricos de
. Consultando tabela da normal padrão (ou usando calculadora de
) obtemos, por interpolação simples:
Substituindo:
Então o primeiro resultado numérico é aproximadamente
. (Se você usar outra tabela pode aparecer
ao arredondar.)
Passo 4
Calcular
.
Padronizo:
Assim
Usando
,
Da tabela
. Portanto
Passo 5
Calcular
.
Interpretação:
significa que a distância de
à média
é maior que
. Isso é equivalente ao evento
ou
. Então
Padronizando:
Logo
Pela simetria
, então
Da tabela
. Então
Passo 6
Resumo interpretativo rápido (para fixar): transformar para
é o passo que abre a porta para usar
. Use sempre a simetria
para simplificar cálculo de probabilidades à esquerda. No tempo da prova, calcule os
-scores, ache os
(tabela ou calculadora) e monte a diferença ou soma conforme o caso. Você conseguiu — essas foram as três aplicações diretas dessa técnica.