Exercício 35: Se X segue uma distribuição normal de parâmetros (0,1).
Mostre que, de fato, E(X)=0 e \operatorname{VAR}(X)=1.

Passo 1

O enunciado diz que X segue uma distribuição normal com parâmetros (0,1).
As perguntas são: mostrar que
E(X)=0
e
\operatorname{VAR}(X)=1.
Informações relevantes dadas (que vou usar): a densidade de probabilidade da normal padrão é
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-x^{2}/2},\qquad x\in\mathbb{R}.
Não existe outra informação escondida: com essa densidade podemos calcular expectativas por integrais sobre toda a reta.

Passo 2

Definições que vamos usar (explico devagar): a esperança (valor esperado) de X é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx.
A variância de X é
\operatorname{VAR}(X)=E\big((X-E(X))^{2}\big)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.
Aqui f(x) é a densidade da variável, x é a variável de integração. A ideia será primeiro achar E(X) e depois E(X^{2}); então a variância sai direto.

Passo 3

Cálculo de E(X). Observação importante (didática): a função f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2} é uma função par, isto é, f(-x)=f(x) para todo x. O produto x f(x) é então uma função ímpar, porque x é ímpar e f(x) é par, logo
(xf(x))(-x) = -x f(x).
Uma propriedade básica de integrais: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico (-\infty,\infty) vale zero (desde que a integral seja própria ou se as duas metades convergem). Assim
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx = 0.
Comentário amigável: é o mesmo que dizer que a densidade é simétrica em torno de zero, então as áreas positivas e negativas se cancelam.

Passo 4

Agora precisamos de E(X^{2}). Como vimos, \operatorname{VAR}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} e já achamos E(X)=0, logo
\operatorname{VAR}(X)=E(X^{2}).
Logo vamos calcular
E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\,\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^{2}/2}\,dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Denotemos para simplificar
I_0=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx, \qquad I_2=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Então E(X^{2})=(1/\sqrt{2\pi})I_2. Precisamos calcular I_0 e I_2 (ou relacioná-los).

Passo 5

Cálculo de I_0 (o integral gaussiano clássico). Defina
I_0=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx.
O truque padrão é computar I_0^{2} como uma integral dupla e passar para coordenadas polares:
I_0^{2}=\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^{2}/2}\,dy\right) =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^{2}+y^{2})/2}\,dx\,dy.
Em coordenadas polares (x,y)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta) o elemento de área é dx\,dy = r\,dr\,d\theta, então
I_0^{2}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^{2}/2}\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}/2}\,dr.
Faça a substituição u=r^{2}/2\Rightarrow du = r\,dr, então
\int_{0}^{\infty} r e^{-r^{2}/2}\,dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u}\,du = 1.
Portanto I_0^{2}=2\pi e assim
I_0=\sqrt{2\pi}.
(Escolhemos a raiz positiva porque I_0>0.)

Passo 6

Agora relacionamos I_2 com I_0 usando integração por partes. Considere a integral sobre [0,\infty) e aproveite a simetria:
I_2=2\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Para a integral de 0 a \infty aplicamos integração por partes; escolhemos as partes de forma conveniente:
coloque u=x e dv = x e^{-x^{2}/2}\,dx. Então du=dx e uma primitiva de dv é v=-e^{-x^{2}/2} (verificando: dv = d(-e^{-x^{2}/2}) = x e^{-x^{2}/2}\,dx). A fórmula de integração por partes é
\int_{0}^{\infty} u\,dv = [uv]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} v\,du.
Aplicando:
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx = \int_{0}^{\infty} u\,dv = \big[-x e^{-x^{2}/2}\big]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Agora explico o termo de fronteira: quando x\to\infty, x e^{-x^{2}/2}\to 0 porque o exponencial decai muito mais rápido que x cresce; em x=0 o produto é zero. Logo o termo de fronteira vale 0-0=0. Assim
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx = \int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx.
Multiplicando por 2 para recuperar I_2,
I_2 = 2\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x^{2}/2}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}/2}\,dx = I_0.
Portanto I_2 = I_0.

Passo 7

Com os valores obtidos: I_0=\sqrt{2\pi} e I_2=I_0=\sqrt{2\pi}. Então
E(X^{2})=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,I_2=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\sqrt{2\pi}=1.
Como já tínhamos E(X)=0, vem
\operatorname{VAR}(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=1-0^{2}=1.
Respira fundo: chegamos no objetivo.

Resposta

E(X)=0
\operatorname{VAR}(X)=1

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