Exercício 35: Se
segue uma distribuição normal de parâmetros
.
Mostre que, de fato,
e
.
Mostre que, de fato,
Passo 1
O enunciado diz que
segue uma distribuição normal com parâmetros
.
As perguntas são: mostrar que
As perguntas são: mostrar que
e
Informações relevantes dadas (que vou usar): a densidade de probabilidade da normal padrão é
Não existe outra informação escondida: com essa densidade podemos calcular expectativas por integrais sobre toda a reta.
Passo 2
Definições que vamos usar (explico devagar): a esperança (valor esperado) de
é
A variância de
é
Aqui
é a densidade da variável,
é a variável de integração. A ideia será primeiro achar
e depois
; então a variância sai direto.
Passo 3
Cálculo de
. Observação importante (didática): a função
é uma função par, isto é,
para todo
. O produto
é então uma função ímpar, porque
é ímpar e
é par, logo
Uma propriedade básica de integrais: a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
vale zero (desde que a integral seja própria ou se as duas metades convergem). Assim
Comentário amigável: é o mesmo que dizer que a densidade é simétrica em torno de zero, então as áreas positivas e negativas se cancelam.
Passo 4
Agora precisamos de
. Como vimos,
e já achamos
, logo
Logo vamos calcular
Denotemos para simplificar
Então
. Precisamos calcular
e
(ou relacioná-los).
Passo 5
Cálculo de
(o integral gaussiano clássico). Defina
O truque padrão é computar
como uma integral dupla e passar para coordenadas polares:
Em coordenadas polares
o elemento de área é
, então
Faça a substituição
, então
Portanto
e assim
(Escolhemos a raiz positiva porque
.)
Passo 6
Agora relacionamos
com
usando integração por partes. Considere a integral sobre
e aproveite a simetria:
Para a integral de
a
aplicamos integração por partes; escolhemos as partes de forma conveniente:
coloque e
. Então
e uma primitiva de
é
(verificando:
). A fórmula de integração por partes é
coloque
Aplicando:
Agora explico o termo de fronteira: quando
,
porque o exponencial decai muito mais rápido que
cresce; em
o produto é zero. Logo o termo de fronteira vale
. Assim
Multiplicando por
para recuperar
,
Portanto
.
Passo 7
Com os valores obtidos:
e
. Então
Como já tínhamos
, vem
Respira fundo: chegamos no objetivo.