Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
.
Informações dadas e pedido claro: temos o numerador e o denominador
; a tarefa é encontrar
, a derivada de
em função de
.
Informações dadas e pedido claro: temos o numerador
Passo 2
Vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se
com
, então
Aqui
é a função que aparece no numerador,
é a função do denominador,
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
. A fórmula combina as derivadas do numerador e do denominador de forma a respeitar a diferença entre dividir e multiplicar.
Passo 3
Identifico as partes da função:
e
.
Agora calculo as derivadas de cada parte, lembrando regras básicas: a derivada de é
; a derivada de
é
; a derivada de constante é
. Portanto
Agora calculo as derivadas de cada parte, lembrando regras básicas: a derivada de
Passo 4
Substituo
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Agora faço a álgebra do numerador passo a passo. Primeiro multiplico os termos:
Substituo essas expressões no numerador:
Passo 6
Continuo a simplificação do numerador, distribuindo o sinal de menos:
Portanto a derivada simplificada fica