Exercício 38. Calcule a derivada das seguintes funções racionais:
f(x)=\frac{3 x-2}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função racional
f(x)=\frac{3 x-2}{x^{2}+1}.
Informações dadas e pedido claro: temos o numerador 3x-2 e o denominador x^{2}+1; a tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz o seguinte: se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x) é a função que aparece no numerador, v(x) é a função do denominador, u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A fórmula combina as derivadas do numerador e do denominador de forma a respeitar a diferença entre dividir e multiplicar.

Passo 3

Identifico as partes da função:
u(x)=3x-2 e v(x)=x^{2}+1.
Agora calculo as derivadas de cada parte, lembrando regras básicas: a derivada de ax+b é a; a derivada de x^{n} é n x^{n-1}; a derivada de constante é 0. Portanto
u'(x)=3,
v'(x)=2x.

Passo 4

Substituo u, v, u' e v' na fórmula da regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{3\,(x^{2}+1)-(3x-2)\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 5

Agora faço a álgebra do numerador passo a passo. Primeiro multiplico os termos:
3\,(x^{2}+1)=3x^{2}+3,
(3x-2)\,(2x)=6x^{2}-4x.
Substituo essas expressões no numerador:
3x^{2}+3-(6x^{2}-4x).

Passo 6

Continuo a simplificação do numerador, distribuindo o sinal de menos:
3x^{2}+3-6x^{2}+4x = -3x^{2}+4x+3.
Portanto a derivada simplificada fica
f'(x)=\frac{-3x^{2}+4x+3}{(x^{2}+1)^{2}}.

Resposta

\dfrac{-3x^{2}+4x+3}{(x^{2}+1)^{2}}

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