Exercício 37 (Pistão e taxa de expansão do gás). Um pistão de área A=0,01 \mathrm{~m}^{2} contém uma coluna de gás ideal de altura h(t). A pressão é constante P \approx P_{e x t} e a quantidade de gás n é fixa. Se d T / d t=1,5 \mathrm{~K} / \mathrm{s}, encontre \frac{d h}{d t} em T=300 \mathrm{~K} e h=0,40 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a taxa de variação da altura h(t) da coluna de gás, ou seja \dfrac{d h}{d t}, dado que a pressão é constante e a quantidade de gás é fixa. Informações fornecidas:
A=0,01\\ \mathrm{m}^2,\qquad \frac{dT}{dt}=1,5\\ \mathrm{K/s},\qquad T=300\\ \mathrm{K},\qquad h=0,40\\ \mathrm{m}.
Queremos \dfrac{d h}{d t} no instante em que T=300\\ \mathrm{K} e h=0,40\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Vamos usar a lei dos gases ideais. Ela relaciona pressão, volume, quantidade de gás e temperatura por
PV = nRT.
Explicando cada símbolo:
P\\ \text{é a pressão (Pa)},\quad V\\ \text{é o volume (m}^3\text{)},\quad n\\ \text{é o número de mols (adimensional)},éãééú
R\\ \text{é a constante dos gases }(R\approx 8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}),\quad T\\ \text{é a temperatura (K)}.éé
No nosso problema P é praticamente constante ( P\approx P_{\text{ext}} ) e n é fixo.

Passo 3

Relacionamos o volume ao raio do pistão: como a seção é A e a altura é h,
V = A h.
Aqui A está dado em \mathrm{m}^2 e h em \mathrm{m}, então V fica em \mathrm{m}^3.

Passo 4

Diferenciamos a lei dos gases ideais em relação ao tempo t. Como P e n são constantes,
P\frac{dV}{dt} = nR\frac{dT}{dt}.
Isto vem da regra da diferenciação: a derivada de um produto com uma das quantidades constante simplifica diretamente. A equação nos dá \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{nR}{P}\dfrac{dT}{dt}.

Passo 5

Usamos a própria lei dos gases para eliminar nR/P. Da lei PV=nRT isolamos
\frac{nR}{P}=\frac{V}{T}.
Substituindo em \dfrac{dV}{dt} obtemos
\frac{dV}{dt}=\frac{V}{T}\frac{dT}{dt}.
Como V=A h e \dfrac{dV}{dt}=A\dfrac{d h}{d t}, substituímos:
A\frac{d h}{d t} = \frac{A h}{T}\frac{dT}{dt}.
Cancelando A (não nulo) achamos a fórmula útil e simples:
\frac{d h}{d t} = \frac{h}{T}\frac{dT}{dt}.
Interpretação física: a altura cresce proporcionalmente à razão h/T vezes a taxa de aquecimento.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Calculamos primeiro o numerador:
h\frac{dT}{dt} = 0,40\times 1,5 = 0,60.
Dividindo por T=300,
\frac{d h}{d t} = \frac{0,60}{300} = 0,002\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Significado do sinal: o valor é positivo, então a coluna de gás se expande e o pistão sobe com taxa 0,002\\ \mathrm{m/s}. Nada mais a acrescentar — você já tem a expressão geral \dfrac{d h}{d t}=\dfrac{h}{T}\dfrac{dT}{dt} para usar em outros instantes.

Resposta

0,002\\ \mathrm{m/s}

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