Exercício 37 (Pistão e taxa de expansão do gás). Um pistão de área
contém uma coluna de gás ideal de altura
. A pressão é constante
e a quantidade de gás
é fixa. Se
, encontre
em
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a taxa de variação da altura
da coluna de gás, ou seja
, dado que a pressão é constante e a quantidade de gás é fixa. Informações fornecidas:
Queremos
no instante em que
e
.
Passo 2
Vamos usar a lei dos gases ideais. Ela relaciona pressão, volume, quantidade de gás e temperatura por
Explicando cada símbolo:
No nosso problema
é praticamente constante (
) e
é fixo.
Passo 3
Relacionamos o volume ao raio do pistão: como a seção é
e a altura é
,
Aqui
está dado em
e
em
, então
fica em
.
Passo 4
Diferenciamos a lei dos gases ideais em relação ao tempo
. Como
e
são constantes,
Isto vem da regra da diferenciação: a derivada de um produto com uma das quantidades constante simplifica diretamente. A equação nos dá
.
Passo 5
Usamos a própria lei dos gases para eliminar
. Da lei
isolamos
Substituindo em
obtemos
Como
e
, substituímos:
Cancelando
(não nulo) achamos a fórmula útil e simples:
Interpretação física: a altura cresce proporcionalmente à razão
vezes a taxa de aquecimento.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos. Calculamos primeiro o numerador:
Dividindo por
,
Passo 7
Significado do sinal: o valor é positivo, então a coluna de gás se expande e o pistão sobe com taxa
. Nada mais a acrescentar — você já tem a expressão geral
para usar em outros instantes.