Exercicio 38
Mostre que lim (x, y) (3.2) 3 x-4 y=1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
lim(x,y)to(3,2)l(3x-4yr)=1
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e a técnica será a prova varepsilon\nobreakdash– de<a.

Passo 2

Observe que f(x,y)=3x-4y é função linear e, portanto, contínua em todo R^2. Logo,
lim(x,y)to(3,2)f(x,y)=f(3,2)=3cdot3-4cdot2=9-8=1

Passo 3

Fazendo a prova varepsilon\nobreakdash– de<a: dado varepsilon>0, note que
l|f(x,y)-1r| =l|3x-4y-(9-8)r| =l|3(x-3)-4(y-2)r| <=3|x-3|+4|y-2|
Se escolhermos
de<a=varepsilon7,
então raiz(x-3)^2+(y-2)^2<de<a implica |x-3|<de<a e |y-2|<de<a, de modo que
|f(x,y)-1|<=3de<a+4de<a=7de<a=varepsilon

Resposta

lim(x,y)to(3,2)3x-4y=1

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