Determine o vetor normal unitário mathbfN(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
mathbfr(t)=cos t sin t i+sin ^2 t j+cos t k

Passo 1

O enunciado pede o vetor normal unitário
N(t)=dfracdwidehat T/dt|,dwidehat T/dt|
para a curva
r(t)=cos tsin t, i+sin^2t, j+cos t, k.
Isso envolve estes passos:
  1. Calcular r'(t) e a velocidade | r'(t)|.
  2. Obter o vetor tangente unitário widehat T(t)= r'(t)/| r'(t)|.
  3. Diferenciar widehat T(t) para achar dwidehat T/dt.
  4. Normalizar esse vetor para obter N(t).

Passo 2

Derivamos componente a componente:
r'(t) =lang<= ,( cos^2t-sin^2t ),;2sin tcos t,;-sin trang<= =lang<= cos(2t),;sin(2t),;-sin trang<=
A norma é
| r'(t)| =raizcos^2(2t)+sin^2(2t)+sin^2t =raiz1+sin^2t;

Passo 3

Logo o vetor tangente unitário é
widehat T(t) = r'(t)| r'(t)| =1raiz1+sin^2t, llang<= cos(2t),;sin(2t),;-sin trrang<=

Passo 4

Agora diferenciamos widehat T(t). Seja
D=1+sin^2t, w=raizD, w'=sin tcos tw
Escrevendo u(t)=lang<= cos(2t),sin(2t),-sin trang<=, temos
widehat T= u/w e
dwidehat Tdt =d u/dt;w- u,w'w^2
Calcula–se
d udt =lang<= -2sin(2t),;2cos(2t),;-cos trang<=,
e portanto, após combinar termos,
dwidehat Tdt =1D^3/2, llang<= -,sin tcos tl(4D+cos(2t)r),; 2l(cos(2t),D-sin^2tcos^2tr),; -,cos t rrang<=

Passo 5

O vetor normal unitário é agora
N(t) = dwidehat Tdt l| dwidehat Tdtr| ;=; 1raizl|dwidehat T/dtr|^2; 1D^3/2 llang<= -,sin tcos tl(4D+cos(2t)r),; 2l(cos(2t),D-sin^2tcos^2tr),; -,cos t rrang<=,
onde
l|dwidehat T/dtr|^2 =1D^3l[ sin^2tcos^2tl(4D+cos(2t)r)^2 +4l(cos(2t),D-sin^2tcos^2tr)^2 +cos^2t r]

Resposta

boxed N(t) =1raizsin^2tcos^2t,(4D+cos2t)^2 ;+;4(cos2t,D-sin^2tcos^2t)^2 ;+;cos^2t;;, 1D^3/2 ;llang<= -,sin tcos t,(4D+cos2t),; 2(cos2t,D-sin^2tcos^2t),; -,cos t rrang<=,
com D=1+sin^2t.

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