Determine o vetor normal unitário mathbfN(t) para cada uma das curvas vetoriais a seguir. Utilize a definição:
N(t)=d widehatT / d t|d widehatT / d t|
onde widehatT(t) é o vetor tangente unitário.
mathbfr(t)=a cos t i+b sin t j+t k

Passo 1

Temos a curva
r(t)=acos t,i+bsin t,j+t,k
O conteúdo aqui é o cálculo do vetor normal unitário N(t) através de
N(t)=dwidehatT/dtl|dwidehatT/dtr|,
onde widehatT(t) é o versor tangente. Para isso vamos precisar de:
  1. r'(t) e seu módulo.
  2. widehatT(t)=r'(t)/|r'(t)|.
  3. dwidehatT/dt.
  4. Normalizar dwidehatT/dt.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e seu módulo:
r'(t)=-asin t,i+bcos t,j+k,
v(t)=|r'(t)|=raiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

Passo 3

O versor tangente é
widehatT(t) =r'(t)v(t) =-asin t,i+bcos t,j+kraiza^2sin^2t+b^2cos^2t+1

Passo 4

Agora derivamos widehatT(t). Para facilitar, observe que
dwidehatTdt =1v,r''(t) -v'v^2,r'(t),
sendo
r''(t)=-acos t,i-bsin t,j, v'=ddtv =(a^2-b^2)sin tcos tv
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dwidehatTdt =-acos t,i-bsin t,jv -(a^2-b^2)sin tcos tv^3 l(-asin t,i+bcos t,j+kr)

Passo 5

Finalmente normalizamos dwidehatT/dt. O vetor normal unitário é
N(t) = l[-acos t,i-bsin t,jr],v^2 ;-;(a^2-b^2)sin tcos tl[-asin t,i+bcos t,j+kr] raiz v^4l(a^2cos^2t+b^2sin^2tr) ;+;v^2(a^2-b^2)^2sin^2tcos^2t !,
onde v^2=a^2sin^2t+b^2cos^2t+1.

Resposta

boxed N(t) =, l[-acos t,i-bsin t,jr],l(a^2sin^2t+b^2cos^2t+1r) -(a^2-b^2)sin tcos t,l[-asin t,i+bcos t,j+kr] raiz l(a^2sin^2t+b^2cos^2t+1r)^2l(a^2cos^2t+b^2sin^2tr) +l(a^2-b^2r)^2sin^2tcos^2tl(a^2sin^2t+b^2cos^2t+1r) !

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