Exercício 28. Calcular a distância P à reta r nos seguintes casos: P=(-2,3) e r:\left\{\begin{array}{l}x=7 t-1 \\\ y=24 t+1\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que ele pede:
Ponto P = (-2,3).
Reta r dada em forma paramétrica:
x = 7t-1,\qquad y = 24t+1,\qquad t\in\mathbb{R}.
Pergunta: calcular a distância do ponto P à reta r.
Passo 2
Escolher um ponto qualquer A que pertença à reta r. Para isso, basta tomar um valor conveniente de t. Escolho t=0, então:
A = (x(0),y(0)) = (-1,1).
Esse A está na reta e é fácil de usar nos cálculos.
Passo 3
Identificar o vetor diretor da reta r. A partir das coordenadas paramétricas, o coeficiente de t fornece o vetor diretor:
\vec{v} = (7,24).
Explanação curta: o vetor diretor aponta na direção da reta e tem componentes (\Delta x,\Delta y)=(7,24).
Passo 4
Construir o vetor que vai de A a P:
\vec{AP} = P - A = (-2-(-1),\;3-1) = (-1,2).
Esse vetor representa a posição do ponto P relativa ao ponto A sobre a reta.
Passo 5
Explicar a fórmula usada para distância ponto-reta (geometria plana):
A área do paralelogramo gerado pelos vetores \vec{v} e \vec{AP} é igual ao valor absoluto do determinante
Essa área também é igual à base vezes a altura, isto é, \|\vec{v}\|\times d, onde d é a distância procurada e \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor diretor (a “base”).
Portanto a distância é
d = \frac{\big|\det(\vec{v},\vec{AP})\big|}{\|\vec{v}\|}.
Aqui v_x e v_y são as componentes de \vec{v}, e AP_x,AP_y são as componentes de \vec{AP}.