Exercício 28. Calcular a distância P à reta r nos seguintes casos:
P=(-2,3) e r:\left\{\begin{array}{l}x=7 t-1 \\\ y=24 t+1\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • Ponto P = (-2,3).
  • Reta r dada em forma paramétrica:
x = 7t-1,\qquad y = 24t+1,\qquad t\in\mathbb{R}.
  • Pergunta: calcular a distância do ponto P à reta r.

Passo 2

Escolher um ponto qualquer A que pertença à reta r. Para isso, basta tomar um valor conveniente de t. Escolho t=0, então:
A = (x(0),y(0)) = (-1,1).
Esse A está na reta e é fácil de usar nos cálculos.

Passo 3

Identificar o vetor diretor da reta r. A partir das coordenadas paramétricas, o coeficiente de t fornece o vetor diretor:
\vec{v} = (7,24).
Explanação curta: o vetor diretor aponta na direção da reta e tem componentes (\Delta x,\Delta y)=(7,24).

Passo 4

Construir o vetor que vai de A a P:
\vec{AP} = P - A = (-2-(-1),\;3-1) = (-1,2).
Esse vetor representa a posição do ponto P relativa ao ponto A sobre a reta.

Passo 5

Explicar a fórmula usada para distância ponto-reta (geometria plana):
  • A área do paralelogramo gerado pelos vetores \vec{v} e \vec{AP} é igual ao valor absoluto do determinante
\big|\det(\vec{v},\vec{AP})\big| = \big|v_x\cdot AP_y - v_y\cdot AP_x\big|.
  • Essa área também é igual à base vezes a altura, isto é, \|\vec{v}\|\times d, onde d é a distância procurada e \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor diretor (a “base”).
  • Portanto a distância é
d = \frac{\big|\det(\vec{v},\vec{AP})\big|}{\|\vec{v}\|}.
Aqui v_x e v_y são as componentes de \vec{v}, e AP_x,AP_y são as componentes de \vec{AP}.

Passo 6

Calcular o determinante necessário:
\det(\vec{v},\vec{AP}) = 7\cdot 2 - 24\cdot(-1) = 14 + 24 = 38.
Tomamos o valor absoluto, que é |38| = 38.

Passo 7

Calcular a norma (comprimento) do vetor diretor \vec{v}:
\|\vec{v}\| = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25.
Observação amigável: (7,24,25) forma a famosa tríplice pitagórica.

Passo 8

Aplicar a fórmula da distância:
d = \frac{38}{25}.
Se quiser verificar por projeção (checagem alternativa), pode-se calcular
\vec{AP}\cdot\vec{v} = (-1)\cdot 7 + 2\cdot 24 = -7 + 48 = 41,
e então
d = \sqrt{\|\vec{AP}\|^2 - \frac{(\vec{AP}\cdot\vec{v})^2}{\|\vec{v}\|^2}} = \sqrt{5 - \frac{1681}{625}} = \sqrt{\frac{3125-1681}{625}} = \sqrt{\frac{1444}{625}} = \frac{38}{25},
confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{38}{25}

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