Portanto o comprimento de arco medido a partir de t=0 é \displaystyle s(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+2t.
Observação: esta relação liga s e t. Para escrever qualquer quantidade em função de s é preciso inverter essa relação (resolver s=\tfrac{t^{3}}{3}+2t para t em termos de s), o que exige resolver uma cúbica — não há uma forma simples e elementar para t(s) em termos de operações básicas, embora exista solução geral por fórmulas de cúbica. Em muitos problemas é aceitável deixar a dependência em s implícita, escrevendo a expressão em termos de t e lembrando que t é função de s.
Passo 6
Calcular a aceleração em função do comprimento de arco l (ou s).
Duas observações teóricas importantes e úteis na prova:
Se a curva está parametrizada por comprimento de arco s, então \dfrac{d\vec{r}}{ds}=\vec{T} e \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}}=\dfrac{d\vec{T}}{ds}=\kappa\,\vec{N}, onde \vec{N} é o versor normal. Assim, a derivada segunda em relação a s tem magnitude \kappa e direção \vec{N}.
Para a parametrização original em t, relacionam-se derivadas por d/ds=(1/v)\,d/dt, onde v(t)=\|\vec{r}'(t)\|.
Vamos obter \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} explicitamente em termos de t (de modo que, para ter \vec{a} em função de l, basta substituir t por t(l) obtido invertendo s(t)).
Cálculo direto de \dfrac{d\vec{T}}{dt}. Já temos \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{r}'(t)}{v(t)} com v(t)=t^{2}+2. Usando a regra do quociente vetorial:
Mas \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}}=\dfrac{d\vec{T}}{ds}. Assim a aceleração em termos do parâmetro de comprimento de arco (ou seja, \vec{a}(l) com l=s) é
onde t e s estão ligados por s=\dfrac{t^{3}}{3}+2t. Equivalentemente, esta expressão é o vetor \kappa\,\vec{N} (módulo igual a \kappa(t) que já calculamos).
Resumo prático: a aceleração em função do comprimento de arco s está dada de forma explícita em termos de t acima; para obter \vec{a} exatamente na forma \vec{a}(s) basta substituir t=t(s), inversa de s(t)=\tfrac{t^{3}}{3}+2t.