• Exercício 3.38. Seja \vec{r}(t)=\left(2 t, t^{2}, \frac{1}{3} t^{3}\right) a trajetória seguida por uma partícula no espaço \mathbb{R}^{3}.
  1. Calcule o vetor unitário tangencial \vec{T}(t) e a aceleração da partícula \vec{a}(l);
  2. Calcule a curvatura;
  3. Encontre a função comprimento de arco s da curva \Gamma descrita pelo raio vetor \vec{r}(t),

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição
\vec{r}(t)=\bigl(2t,\;t^{2},\;\tfrac{1}{3}t^{3}\bigr).
As perguntas são:
  • Calcular o vetor unitário tangencial \vec{T}(t);
  • Calcular a aceleração da partícula \vec{a}(l) (a aceleração em função do comprimento de arco l);
  • Calcular a curvatura \kappa;
  • Encontrar a função comprimento de arco s (vou usar s como l, o comprimento desde t=0 até t).
Informações relevantes dadas:
  • A função \vec{r}(t) está totalmente especificada (componentes polinomiais em t).
  • Nenhuma condição inicial extra foi fornecida além da própria parametrização por t; será natural tomar o comprimento de arco medido a partir de t=0.

Passo 2

Primeiro vamos obter a velocidade e a aceleração em função do tempo — isso é básico e necessário.
Definição: a velocidade é \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} e a aceleração em função do tempo é \vec{a}(t)=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
Calculemos derivadas componente a componente:
\vec{r}'(t)=\vec{v}(t)=\bigl(2,\;2t,\;t^{2}\bigr), \qquad \vec{r}''(t)=\vec{a}(t)=\bigl(0,\;2,\;2t\bigr).
Velocidade escalar (módulo da velocidade), chamada também de rapidez:
Definição: v(t)=\|\vec{v}(t)\|.
v(t)=\sqrt{2^{2}+(2t)^{2}+(t^{2})^{2}} =\sqrt{4+4t^{2}+t^{4}} =\sqrt{(t^{2}+2)^{2}}=t^{2}+2,
pois t^{2}+2>0 para todo t.

Passo 3

Agora calculamos o vetor unitário tangencial \vec{T}(t).
Definição: \vec{T}(t)=\dfrac{\vec{v}(t)}{\|\vec{v}(t)\|}=\dfrac{\vec{r}'(t)}{v(t)}. Aqui \vec{T}(t) tem norma 1 e aponta na direção da velocidade.
Usando os resultados anteriores:
\vec{T}(t)=\dfrac{\bigl(2,\;2t,\;t^{2}\bigr)}{t^{2}+2} =\left(\dfrac{2}{t^{2}+2},\;\dfrac{2t}{t^{2}+2},\;\dfrac{t^{2}}{t^{2}+2}\right).
Explicação rápida (intuitiva): divide-se cada componente da velocidade pelo módulo da velocidade para obter uma direção com comprimento 1.

Passo 4

Calcular a curvatura \kappa(t).
Fórmula prática (muito usada): para uma curva parametrizada por t,
\kappa(t)=\dfrac{\|\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t)\|}{\|\vec{r}'(t)\|^{3}}.
Aqui \times é o produto vetorial em \mathbb{R}^{3}.
Compute o produto vetorial:
\vec{r}'(t)\times\vec{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 2t & t^{2} \\\\ 0 & 2 & 2t \end{vmatrix} =(2t^{2})\,\mathbf{i}-4t\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.
O módulo desse vetor é
\|\vec{r}'\times\vec{r}''\| =\sqrt{(2t^{2})^{2}+(-4t)^{2}+4^{2}} =\sqrt{4t^{4}+16t^{2}+16} =\sqrt{4(t^{2}+2)^{2}}=2(t^{2}+2).
Logo, usando \|\vec{r}'(t)\|=t^{2}+2,
\kappa(t)=\dfrac{2(t^{2}+2)}{(t^{2}+2)^{3}}=\dfrac{2}{(t^{2}+2)^{2}}.
Pequena interpretação: a curvatura mede o quão “curvada” é a trajetória; aqui decresce com t aproximadamente como 1/t^{4} para t grandes.

Passo 5

Encontrar a função comprimento de arco s(t).
Definição: o comprimento de arco desde t_{0} até t é
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|\vec{r}'(u)\|\,du.
Vou tomar t_{0}=0 (comprimento a partir de t=0), a menos que se peça outro ponto.
Já sabemos \|\vec{r}'(u)\|=u^{2}+2. Então
s(t)=\int_{0}^{t}(u^{2}+2)\,du =\left[\dfrac{u^{3}}{3}+2u\right]_{0}^{t} =\dfrac{t^{3}}{3}+2t.
Portanto o comprimento de arco medido a partir de t=0 é \displaystyle s(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+2t.
Observação: esta relação liga s e t. Para escrever qualquer quantidade em função de s é preciso inverter essa relação (resolver s=\tfrac{t^{3}}{3}+2t para t em termos de s), o que exige resolver uma cúbica — não há uma forma simples e elementar para t(s) em termos de operações básicas, embora exista solução geral por fórmulas de cúbica. Em muitos problemas é aceitável deixar a dependência em s implícita, escrevendo a expressão em termos de t e lembrando que t é função de s.

Passo 6

Calcular a aceleração em função do comprimento de arco l (ou s).
Duas observações teóricas importantes e úteis na prova:
  • Se a curva está parametrizada por comprimento de arco s, então \dfrac{d\vec{r}}{ds}=\vec{T} e \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}}=\dfrac{d\vec{T}}{ds}=\kappa\,\vec{N}, onde \vec{N} é o versor normal. Assim, a derivada segunda em relação a s tem magnitude \kappa e direção \vec{N}.
  • Para a parametrização original em t, relacionam-se derivadas por d/ds=(1/v)\,d/dt, onde v(t)=\|\vec{r}'(t)\|.
Vamos obter \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} explicitamente em termos de t (de modo que, para ter \vec{a} em função de l, basta substituir t por t(l) obtido invertendo s(t)).
Cálculo direto de \dfrac{d\vec{T}}{dt}. Já temos
\vec{T}(t)=\dfrac{\vec{r}'(t)}{v(t)} com v(t)=t^{2}+2. Usando a regra do quociente vetorial:
\dfrac{d\vec{T}}{dt} =\dfrac{\vec{r}''(t)\,v(t)-\vec{r}'(t)\,v'(t)}{v(t)^{2}}.
Sabendo \vec{r}'(t)=(2,2t,t^{2}), \vec{r}''(t)=(0,2,2t), v'(t)=2t e v(t)=t^{2}+2, obtemos
\vec{r}''(t)\,v(t)-\vec{r}'(t)\,v'(t) =(-4t,\;-2t^{2}+4,\;4t).
Portanto
\dfrac{d\vec{T}}{dt}=\dfrac{(-4t,\;-2t^{2}+4,\;4t)}{(t^{2}+2)^{2}}.
Agora passamos para derivada em relação a s:
\dfrac{d\vec{T}}{ds}=\dfrac{1}{v(t)}\dfrac{d\vec{T}}{dt} =\dfrac{(-4t,\;-2t^{2}+4,\;4t)}{(t^{2}+2)^{3}}.
Mas \dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}}=\dfrac{d\vec{T}}{ds}. Assim a aceleração em termos do parâmetro de comprimento de arco (ou seja, \vec{a}(l) com l=s) é
\boxed{\dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} =\dfrac{(-4t,\,-2t^{2}+4,\,4t)}{(t^{2}+2)^{3}},}
onde t e s estão ligados por s=\dfrac{t^{3}}{3}+2t. Equivalentemente, esta expressão é o vetor \kappa\,\vec{N} (módulo igual a \kappa(t) que já calculamos).
Resumo prático: a aceleração em função do comprimento de arco s está dada de forma explícita em termos de t acima; para obter \vec{a} exatamente na forma \vec{a}(s) basta substituir t=t(s), inversa de s(t)=\tfrac{t^{3}}{3}+2t.

Resposta

\displaystyle \vec{T}(t)=\left(\dfrac{2}{t^{2}+2},\;\dfrac{2t}{t^{2}+2},\;\dfrac{t^{2}}{t^{2}+2}\right)
\displaystyle
\displaystyle \vec{a}(l)=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{ds^{2}} =\dfrac{(-4t,\,-2t^{2}+4,\,4t)}{(t^{2}+2)^{3}},\quad\text{com }l=s=\dfrac{t^{3}}{3}+2t
\displaystyle
\displaystyle \kappa(t)=\dfrac{2}{(t^{2}+2)^{2}}
\displaystyle
\displaystyle s(t)=\dfrac{t^{3}}{3}+2t

Exercícios relacionados