Exercício 3.39. Calcule a curvatura e a torção da curva definida por
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica
e pede para calcular a curvatura e a torção da curva como funções de
.
Informações dadas:
- A expressão explícita de
.
Perguntas:
- Calcular a curvatura
. - Calcular a torção
.
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo.
Definição prática (fórmulas usuais em coordenadas):
O que cada coisa significa:
-
é a derivada primeira (velocidade). -
é a derivada segunda (aceleração). -
é a derivada terceira. -
é o produto vetorial; é o produto escalar. -
é a norma euclidiana do vetor.
Estratégia: calcular
,
,
; depois o produto vetorial, normas e produto escalar, e inserir nas fórmulas acima.
Passo 3
Calcular as derivadas de
passo a passo.
Derivando componente a componente:
Expliquei cada passo: deriva-se cada coordenada normalmente (potência, produto por constante).
Passo 4
Calcular o produto vetorial
. Para simplificar, fatorizei constantes:
Então
Calcular
por componentes. Se
e
, então
Aqui
e
. Substituindo:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Logo
e portanto
Passo 5
Calcular a norma
\ e simplificar.
Primeiro a norma ao quadrado:
Calcular o somatório dentro dos colchetes:
Portanto
Assim a norma é
Passo 6
Calcular a norma
necessária para a curvatura.
Recordando
com
do passo anterior,
Já calculámos
(mesmo som usado antes), então
e
Passo 7
Calcular a curvatura
usando a fórmula e os resultados.
Substituindo:
Calcular o denominador:
Então
Portanto
Passo 8
Calcular a torção
.
Usar a fórmula
Já temos
e
.
Calcular o produto escalar no numerador:
Dentro dos colchetes:
Logo o numerador vale
O denominador já foi calculado no Passo 5:
Portanto
Assim
Passo 9
Observação final (útil para a prova): neste caso específico a curvatura e a torção coincidem e são funções simples de
,
Isso aconteceu porque os cálculos deram um numerador e denominador que simplificaram de forma idêntica; é um resultado agradável e facilita checagens rápidas.