Exercício 3.39. Calcule a curvatura e a torção da curva definida por \vec{r}(t)=\left(3 t-t^{3}, 3 t^{2}, 3 t+t^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\vec{r}(t)=\bigl(3t-t^{3},\;3t^{2},\;3t+t^{3}\bigr)
e pede para calcular a curvatura e a torção da curva como funções de t.
Informações dadas:
  • A expressão explícita de \vec{r}(t).
Perguntas:
  • Calcular a curvatura \kappa(t).
  • Calcular a torção \tau(t).

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas que vamos usar e explicar cada símbolo.
Definição prática (fórmulas usuais em coordenadas):
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)\bigr\|}{\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|^{3}}, \qquad \tau(t)=\frac{\bigl(\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)\bigr)\cdot\vec{r}'''\!(t)}{\bigl\|\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)\bigr\|^{2}}.
O que cada coisa significa:
  • \vec{r}\,'(t) é a derivada primeira (velocidade).
  • \vec{r}\,''(t) é a derivada segunda (aceleração).
  • \vec{r}'''\!(t) é a derivada terceira.
  • \times é o produto vetorial; \cdot é o produto escalar.
  • \|\cdot\| é a norma euclidiana do vetor.
Estratégia: calcular \vec{r}\,', \vec{r}\,'', \vec{r}'''; depois o produto vetorial, normas e produto escalar, e inserir nas fórmulas acima.

Passo 3

Calcular as derivadas de \vec{r}(t) passo a passo.
Derivando componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=\bigl(3-3t^{2},\;6t,\;3+3t^{2}\bigr)=3\bigl(1-t^{2},\;2t,\;1+t^{2}\bigr).
\vec{r}\,''(t)=\bigl(-6t,\;6,\;6t\bigr)=6\bigl(-t,\;1,\;t\bigr).
\vec{r}'''\!(t)=\bigl(-6,\;0,\;6\bigr)=6\bigl(-1,\;0,\;1\bigr).
Expliquei cada passo: deriva-se cada coordenada normalmente (potência, produto por constante).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t). Para simplificar, fatorizei constantes:
\vec{r}\,'(t)=3\mathbf{v},\quad \mathbf{v}=\bigl(1-t^{2},\;2t,\;1+t^{2}\bigr),
\vec{r}\,''(t)=6\mathbf{w},\quad \mathbf{w}=\bigl(-t,\;1,\;t\bigr).
Então
\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''=3\cdot6\;(\mathbf{v}\times\mathbf{w})=18\;(\mathbf{v}\times\mathbf{w}).
Calcular \mathbf{v}\times\mathbf{w} por componentes. Se \mathbf{v}=(a,b,c) e \mathbf{w}=(p,q,r), então
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=(b r - c q,\; c p - a r,\; a q - b p).
Aqui a=1-t^{2},\; b=2t,\; c=1+t^{2} e p=-t,\; q=1,\; r=t. Substituindo:
Primeira componente:
b r - c q = (2t)\cdot t - (1+t^{2})\cdot 1 = 2t^{2}-1-t^{2}=t^{2}-1.
Segunda componente:
c p - a r = (1+t^{2})(-t) - (1-t^{2})\cdot t = -t - t^{3} - t + t^{3} = -2t.
Terceira componente:
a q - b p = (1-t^{2})\cdot 1 - (2t)(-t) = 1-t^{2}+2t^{2}=1+t^{2}.
Logo
\mathbf{v}\times\mathbf{w}=\bigl(t^{2}-1,\;-2t,\;1+t^{2}\bigr),
e portanto
\vec{r}\,'(t)\times\vec{r}\,''(t)=18\bigl(t^{2}-1,\;-2t,\;1+t^{2}\bigr).

Passo 5

Calcular a norma \bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\ e simplificar.
Primeiro a norma ao quadrado:
\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|^{2} =18^{2}\Bigl[(t^{2}-1)^{2}+(-2t)^{2}+(1+t^{2})^{2}\Bigr].
Calcular o somatório dentro dos colchetes:
(t^{2}-1)^{2}+4t^{2}+(1+t^{2})^{2} = (t^{4}-2t^{2}+1) +4t^{2} + (1+2t^{2}+t^{4}) =2t^{4}+4t^{2}+2 =2(t^{2}+1)^{2}.
Portanto
\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|^{2}=18^{2}\cdot 2\,(t^{2}+1)^{2}=324\cdot 2\,(t^{2}+1)^{2}=648\,(t^{2}+1)^{2}.
Assim a norma é
\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|=18\sqrt{2}\,(t^{2}+1).

Passo 6

Calcular a norma \bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\| necessária para a curvatura.
Recordando \vec{r}\,'(t)=3\mathbf{v} com \mathbf{v} do passo anterior,
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|=3\bigl\|\mathbf{v}\bigr\|.
Já calculámos \bigl\|\mathbf{v}\bigr\|^{2}=(1-t^{2})^{2}+(2t)^{2}+(1+t^{2})^{2}=2(t^{2}+1)^{2} (mesmo som usado antes), então
\bigl\|\mathbf{v}\bigr\|=\sqrt{2}\,(t^{2}+1),
e
\bigl\|\vec{r}\,'(t)\bigr\|=3\sqrt{2}\,(t^{2}+1).

Passo 7

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula e os resultados.
Substituindo:
\kappa(t)=\frac{\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|}{\bigl\|\vec{r}\,'\bigr\|^{3}} =\frac{18\sqrt{2}\,(t^{2}+1)}{\bigl(3\sqrt{2}\,(t^{2}+1)\bigr)^{3}}.
Calcular o denominador:
\bigl(3\sqrt{2}\,(t^{2}+1)\bigr)^{3}=27\cdot (\sqrt{2})^{3}\,(t^{2}+1)^{3} =27\cdot 2\sqrt{2}\,(t^{2}+1)^{3}=54\sqrt{2}\,(t^{2}+1)^{3}.
Então
\kappa(t)=\frac{18\sqrt{2}\,(t^{2}+1)}{54\sqrt{2}\,(t^{2}+1)^{3}} =\frac{18}{54}\cdot\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}.
Portanto
\kappa(t)=\frac{1}{3\,(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 8

Calcular a torção \tau(t).
Usar a fórmula
\tau(t)=\frac{\bigl(\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr)\cdot\vec{r}'''\!(t)}{\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|^{2}}.
Já temos \vec{r}\,'\times\vec{r}\,''=18\bigl(t^{2}-1,\;-2t,\;1+t^{2}\bigr) e \vec{r}'''\!(t)=6(-1,0,1).
Calcular o produto escalar no numerador:
\bigl(\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr)\cdot\vec{r}'''\! =18\cdot 6\bigl[(t^{2}-1)(-1)+(-2t)\cdot 0 + (1+t^{2})\cdot 1\bigr].
Dentro dos colchetes:
-(t^{2}-1)+(1+t^{2}) = -t^{2}+1+1+t^{2}=2.
Logo o numerador vale
18\cdot 6\cdot 2 = 216.
O denominador já foi calculado no Passo 5:
\bigl\|\vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\bigr\|^{2}=648\,(t^{2}+1)^{2}.
Portanto
\tau(t)=\frac{216}{648\,(t^{2}+1)^{2}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(t^{2}+1)^{2}}.
Assim
\tau(t)=\frac{1}{3\,(t^{2}+1)^{2}}.

Passo 9

Observação final (útil para a prova): neste caso específico a curvatura e a torção coincidem e são funções simples de t,
\kappa(t)=\tau(t)=\frac{1}{3\,(t^{2}+1)^{2}}.
Isso aconteceu porque os cálculos deram um numerador e denominador que simplificaram de forma idêntica; é um resultado agradável e facilita checagens rápidas.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{1}{3\,(t^{2}+1)^{2}}
\tau(t)=\dfrac{1}{3\,(t^{2}+1)^{2}}

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