Exercício 3.42. Dada a curva plana \Gamma que em coordenadas cartesianas tem a equação: y= y(x)
a) A partir da definição (3.15) dada para curvatura de curvas planas, encontre a fórmula
K(x)=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}
em coordenadas cartesianas.
b) Chegue a mesma resposta a partir do Teorema (3.10). Ajuda: Utilize a parametrização x=t, y=y(t), z=0.
Note que se a equação da reta fosse y=m x+b, m, b constantes numéricas. Então y^{\prime \prime}=0 logo K=0 como esperado.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) A partir da definição (3.15) para curvatura de curvas planas, deduzir a fórmula
K(x)=\frac{\left|y^{\prime\prime}\right|}{\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{3/2}}.
(b) Chegar ao mesmo resultado usando o Teorema (3.10) e a parametrização sugerida x=t,\;y=y(t),\;z=0.
Informações dadas:
  • A curva plana é dada como gráfico de uma função: y=y(x).
  • Pode-se usar a parametrização x=t,\;y=y(t),\;z=0 (no item b).
  • Observação útil: para uma reta y=mx+b tem-se y''=0 e portanto K=0.

Passo 2

Conceitos e definições que vamos usar (explicados passo a passo).
  • Curvatura geométrica: a curvatura \,K mede a rapidez com que a direção da tangente muda quando se caminha ao longo da curva. Uma definição comum para curvas planas é
K=\left|\frac{d\theta}{ds}\right|,
onde \theta é o ângulo que a tangente faz com o eixo x e s é o comprimento de arco (parametrização por comprimento de arco). Vou explicar o que são \theta e s e como relacioná-los com y(x).
  • Comprimento de arco: para o gráfico y=y(x), um pequeno deslocamento tem comprimento
ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\left(y'\right)^2}\,dx,
isto é, ds relacionado a dx por essa raiz (onde y'=\dfrac{dy}{dx}).
  • Ângulo da tangente: a reta tangente tem inclinação y', então o ângulo \theta satisfaz
\theta=\arctan\!\big(y'\big).

Passo 3

Derivada do ângulo em relação a x.
  • Usar a regra da cadeia para \theta=\arctan(u) com u=y'(x).
  • A derivada da função \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^2}. Assim,
\frac{d\theta}{dx}=\frac{d}{dx}\arctan\!\big(y'(x)\big) =\frac{y''(x)}{1+\big(y'(x)\big)^2},
onde y''=\dfrac{d^2y}{dx^2}. Aqui apliquei a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\arctan(u(x))=\dfrac{u'(x)}{1+u(x)^2}.

Passo 4

Relacionar \dfrac{d\theta}{ds} com \dfrac{d\theta}{dx}.
  • Pela definição da curvatura \,K=\left|\dfrac{d\theta}{ds}\right| e usando a regra da cadeia,
\frac{d\theta}{ds}=\frac{d\theta}{dx}\cdot\frac{dx}{ds}.
  • Já sabemos \dfrac{d\theta}{dx}=\dfrac{y''}{1+(y')^2}.
  • Como ds=\sqrt{1+(y')^2}\,dx, tem-se
\frac{dx}{ds}=\frac{1}{\sqrt{1+\big(y'\big)^2}}.

Passo 5

Combinar as expressões para obter a fórmula.
  • Substituindo em \dfrac{d\theta}{ds}:
\frac{d\theta}{ds} =\frac{y''}{1+(y')^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}} =\frac{y''}{\big(1+(y')^2\big)^{3/2}}.
  • A curvatura é o valor absoluto dessa derivada (curvatura é não-negativa), logo
K(x)=\left|\frac{d\theta}{ds}\right| =\frac{\left|y''(x)\right|}{\big(1+\big(y'(x)\big)^2\big)^{3/2}}.
(Isto responde o item (a).)

Passo 6

Um pequeno comentário didático para fixar a intuição.
  • Para uma reta y=mx+b tem-se y'=m constante e y''=0. Pela fórmula acima K=0, como esperado.
  • Exemplo concreto: se y(x)=a x^2 então y'=2ax, y''=2a e
K(x)=\frac{|2a|}{\big(1+(2ax)^2\big)^{3/2}}.
Isto mostra como a curvatura cai quando |x| aumenta (para a fixo).

Passo 7

Agora vamos ao item (b): enunciado do Teorema (3.10) e interpretação.
  • Uma fórmula vetorial padrão para curvatura de uma curva paramétrica \mathbf{r}(t) é
\kappa(t)=\frac{\big\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big\|}{\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^3}.
Aqui \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são as derivadas em relação a t, \times é o produto vetorial e \|\cdot\| norma Euclidiana. Essa fórmula dá a curvatura em qualquer parâmetro t (não necessariamente o comprimento de arco). Vou aplicá-la com a parametrização sugerida.

Passo 8

Parametrização e cálculo das derivadas.
  • Escolher \mathbf{r}(t)=\big(t,\;y(t),\;0\big). Então
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\;y'(t),\;0\big), \qquad \mathbf{r}''(t)=\big(0,\;y''(t),\;0\big).

Passo 9

Calcular o produto vetorial e as normas.
  • O produto vetorial é
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & y'(t) & 0 \\\\ 0 & y''(t) & 0 \end{vmatrix} =\big(0,\;0,\;1\cdot y''(t)-0\cdot y'(t)\big) =\big(0,\;0,\;y''(t)\big).
  • A norma do produto vetorial é \big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|=\big|y''(t)\big|.
  • A norma de \mathbf{r}' é \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1+\big(y'(t)\big)^2}.
  • Substituindo na fórmula do teorema:
\kappa(t)=\frac{\big|y''(t)\big|}{\big(\sqrt{1+\big(y'(t)\big)^2}\big)^3} =\frac{\big|y''(t)\big|}{\big(1+\big(y'(t)\big)^2\big)^{3/2}}.

Passo 10

Interpretação e ligação com (a).
  • Se no item (b) tomarmos t=x então y'(t)=dy/dx e y''(t)=d^2y/dx^2, e a expressão coincide com a do item (a). Assim as duas abordagens dão a mesma fórmula de curvatura para o gráfico y=y(x).
  • Um reforço final: a presença do valor absoluto em \left|y''\right| garante que K seja não-negativa; o sinal de y'' informa apenas se a curva está curvando para cima ou para baixo.

Resposta

(a) K(x)=\dfrac{\left|y''(x)\right|}{\big(1+\big(y'(x)\big)^2\big)^{3/2}}
(b) K(x)=\dfrac{\left|y''(x)\right|}{\big(1+\big(y'(x)\big)^2\big)^{3/2}}

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