Exercício 3.42. Dada a curva plana \Gamma que em coordenadas cartesianas tem a equação: y= y(x)
a) A partir da definição (3.15) dada para curvatura de curvas planas, encontre a fórmula
em coordenadas cartesianas.
b) Chegue a mesma resposta a partir do Teorema (3.10). Ajuda: Utilize a parametrização x=t, y=y(t), z=0.
Note que se a equação da reta fosse y=m x+b, m, b constantes numéricas. Então y^{\prime \prime}=0 logo K=0 como esperado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) A partir da definição (3.15) para curvatura de curvas planas, deduzir a fórmula
(b) Chegar ao mesmo resultado usando o Teorema (3.10) e a parametrização sugerida x=t,\;y=y(t),\;z=0.
Informações dadas:
A curva plana é dada como gráfico de uma função: y=y(x).
Pode-se usar a parametrização x=t,\;y=y(t),\;z=0 (no item b).
Observação útil: para uma reta y=mx+b tem-se y''=0 e portanto K=0.
Passo 2
Conceitos e definições que vamos usar (explicados passo a passo).
Curvatura geométrica: a curvatura \,K mede a rapidez com que a direção da tangente muda quando se caminha ao longo da curva. Uma definição comum para curvas planas é
K=\left|\frac{d\theta}{ds}\right|,
onde \theta é o ângulo que a tangente faz com o eixo x e s é o comprimento de arco (parametrização por comprimento de arco). Vou explicar o que são \theta e s e como relacioná-los com y(x).
Comprimento de arco: para o gráfico y=y(x), um pequeno deslocamento tem comprimento
Aqui \mathbf{r}' e \mathbf{r}'' são as derivadas em relação a t, \times é o produto vetorial e \|\cdot\| norma Euclidiana. Essa fórmula dá a curvatura em qualquer parâmetro t (não necessariamente o comprimento de arco). Vou aplicá-la com a parametrização sugerida.
Passo 8
Parametrização e cálculo das derivadas.
Escolher \mathbf{r}(t)=\big(t,\;y(t),\;0\big). Então
Se no item (b) tomarmos t=x então y'(t)=dy/dx e y''(t)=d^2y/dx^2, e a expressão coincide com a do item (a). Assim as duas abordagens dão a mesma fórmula de curvatura para o gráfico y=y(x).
Um reforço final: a presença do valor absoluto em \left|y''\right| garante que K seja não-negativa; o sinal de y'' informa apenas se a curva está curvando para cima ou para baixo.