Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\frac{e^{\operatorname{sec} \left(\mathrm{x}^{2}\right)}}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)}}{x}.
O conteúdo que vamos usar é a Regra do Quociente (para dividir duas funções) e a Regra da Cadeia (para derivar uma exponencial composta e a função \operatorname{sec}).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)}, \quad v(x)=x.
Pela Regra do Quociente,
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.

Passo 3

Calculamos u'(x) por Cadeia. Seja
g(x)=\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr),
então
u(x)=e^{g(x)} \quad\Longrightarrow\quad u'(x)=e^{g(x)}\;g'(x).
Agora derivamos g(x). Como \frac{d}{dz}\operatorname{sec}(z)=\operatorname{sec}(z)\tan(z) e z=x^{2}, temos
g'(x) =\operatorname{sec}\bigl(x^{2}\bigr)\,\tan\bigl(x^{2}\bigr)\;\cdot\;2x.
Logo
u'(x) =e^{\operatorname{sec}(x^{2})}\;\bigl[2x\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2})\bigr].

Passo 4

Também temos v'(x)=1. Substituindo em
f'(x) =\frac{u'(x)\,x - u(x)\cdot 1}{x^{2}}
obtemos
f'(x) =\frac{ e^{\operatorname{sec}(x^{2})}\bigl[2x\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2})\bigr]\;x - e^{\operatorname{sec}(x^{2})} }{x^{2}}.

Passo 5

Fatorando e^{\operatorname{sec}(x^{2})} no numerador:
f'(x) =\frac{e^{\operatorname{sec}(x^{2})}\Bigl[2x^{2}\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2}) - 1\Bigr]}{x^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{e^{\operatorname{sec}(x^{2})}\bigl(2x^{2}\,\operatorname{sec}(x^{2})\,\tan(x^{2}) - 1\bigr)}{x^{2}}.

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