Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\ln \left(\frac{1}{\operatorname{arctg}(1-2 \mathrm{x})}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\frac{1}{\operatorname{arctg}(1-2x)}\biggr).
É um problema de derivada de função composta que envolve logaritmo e arco-tangente. Vamos usar as propriedades de logaritmo e, em seguida, a regra da cadeia e a derivada de \operatorname{arctg}(u).

Passo 2

Usamos a propriedade
\ln\!\bigl(1/A\bigr)=-\ln(A)
com A=\operatorname{arctg}(1-2x). Assim,
f(x)=-\ln\!\bigl(\operatorname{arctg}(1-2x)\bigr).

Passo 3

Para derivar -\ln(\operatorname{arctg}(1-2x)), aplicamos a regra da cadeia junto com
\frac{d}{dx}\ln(u)=\frac{u'}{u} \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(u)=\frac{u'}{1+u^2}.
Chamando u(x)=\operatorname{arctg}(1-2x), vem
f'(x)=-\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Seja v(x)=1-2x. Então
\frac{d}{dx}\operatorname{arctg}(v) =\frac{v'}{1+v^2} =\frac{-2}{1+(1-2x)^2}.
Logo
f'(x) =-\frac{-2/(1+(1-2x)^2)}{\operatorname{arctg}(1-2x)} =\frac{2}{\operatorname{arctg}(1-2x)\,\bigl(1+(1-2x)^2\bigr)}.

Resposta

f'(x) =\frac{2}{\operatorname{arctg}(1-2x)\,\bigl(1+(1-2x)^2\bigr)}.

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