Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=2^{3 x} \operatorname{arcsen}(4 \mathrm{x})

Passo 1

O enunciado nos dá a função
\displaystyle f(x)=2^{3x}\,\arcsin(4x)
e pede a sua derivada f'(x). O conteúdo envolve a regra do produto e a regra da cadeia, além das derivadas de exponencial e de \arcsin.

Passo 2

Calcular a derivada de u(x)=2^{3x}. Usamos a regra da cadeia:
u'(x)=2^{3x}\,\ln(2)\cdot3=3\ln(2)\,2^{3x}.

Passo 3

Calcular a derivada de v(x)=\arcsin(4x). De novo, regra da cadeia:
v'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}}\cdot4 =\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}.

Passo 4

Aplicar a regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x):
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).

Passo 5

Substituindo u,u',v,v' e fatorando 2^{3x}:
f'(x) =3\ln(2)\,2^{3x}\,\arcsin(4x) +2^{3x}\,\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}} =2^{3x}\Bigl(3\ln(2)\,\arcsin(4x)+\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}\Bigr).

Resposta

\boxed{f'(x)=2^{3x}\Bigl(3\ln(2)\,\arcsin(4x)+\frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}\Bigr).}

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