Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{sec} (\sqrt{\mathrm{x}-1})

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a derivada de
f(x) = \operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)
Então vamos usar regra da cadeia, sabendo que a derivada de \operatorname{sec}(v) é \operatorname{sec}(v)\tan(v) e a derivada de \sqrt{x-1} é \tfrac12(x-1)^{-1/2}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = \sqrt{x-1}
Assim f(x)=\operatorname{sec}\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x) = \frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sec}(u)\bigr]\cdot u'(x) = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u)\cdot u'(x).

Passo 3

Agora calculamos
u'(x) = \frac{d}{dx}\bigl[(x-1)^{1/2}\bigr] = \frac12\,(x-1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x-1}}\,.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) = \operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\,.

Resposta

f'(x) = \frac{\operatorname{sec}\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)\,\tan\bigl(\sqrt{x-1}\bigr)}{2\sqrt{x-1}}\,.

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