Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{tg}^{2}(\mathrm{x}) \operatorname{sec} ^{3}(\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\tan^{2}(x)\,\operatorname{sec}^{3}(x).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra da cadeia, além das fórmulas
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x e \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 2

Definimos u(x)=\tan^{2}x. Para obter u'(x) usamos regra da cadeia:
u'(x) =2\,\tan x\cdot\frac{d}{dx}(\tan x) =2\,\tan x\cdot\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 3

Definimos v(x)=\operatorname{sec}^{3}x. Aplicando regra da cadeia e sabendo que \frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\,\tan x, vem
v'(x) =3\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) =3\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot(\operatorname{sec} x\,\tan x) =3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\tan x.

Passo 4

Pela regra do produto em f(x)=u(x)\,v(x), temos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =2\,\tan x\,\operatorname{sec}^{2}x\cdot\operatorname{sec}^{3}x +\tan^{2}x\cdot3\,\operatorname{sec}^{3}x\,\tan x =2\,\tan x\,\operatorname{sec}^{5}x+3\,\tan^{3}x\,\operatorname{sec}^{3}x.

Passo 5

Para simplificar, fatoramos \tan x\,\operatorname{sec}^{3}x:
f'(x) =\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\bigl(2\,\operatorname{sec}^{2}x+3\,\tan^{2}x\bigr).
Usando \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1, também se pode escrever
f'(x)=\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\bigl(5\,\operatorname{sec}^{2}x-3\bigr).

Resposta

f'(x)=\tan x\,\operatorname{sec}^{3}x\bigl(2\,\operatorname{sec}^{2}x+3\,\tan^{2}x\bigr).

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