Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{cossec}\left(\mathrm{x}^{2}+4\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\operatorname{cossec}\bigl(x^{2}+4\bigr)
e pede f'(x). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada conhecida de \operatorname{cossec}u.

Passo 2

Recordando que, para u=u(x),
\frac{d}{du}\,\operatorname{cossec}u =-\operatorname{cossec}u\;\cot u,
pela regra da cadeia temos
f'(x) =\biggl[\frac{d}{du}\,\operatorname{cossec}u\biggr]_{u=x^{2}+4} \cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+4\bigr) =-\operatorname{cossec}\bigl(x^{2}+4\bigr)\;\cot\bigl(x^{2}+4\bigr) \cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+4\bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada do interno:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+4\bigr)=2x.

Passo 4

Substituindo na expressão de f'(x) e simplificando, obtemos
f'(x) =-\operatorname{cossec}\bigl(x^{2}+4\bigr)\;\cot\bigl(x^{2}+4\bigr)\;\times 2x =-2x\,\operatorname{cossec}\bigl(x^{2}+4\bigr)\,\cot\bigl(x^{2}+4\bigr).

Resposta

f'(x)=-2x\,\operatorname{cossec}\bigl(x^{2}+4\bigr)\,\cot\bigl(x^{2}+4\bigr).

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