Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\ln (2 x) \log _{10}(x)-\ln (a) \log _{a}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln(2x)\,\log_{10}(x)\;-\;\ln(a)\,\log_{a}(x).
O conteúdo aqui é derivada de produto e derivada de logaritmos em bases diferentes. Vamos usar (1) a mudança de base
\log_{10}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}, \log_{a}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}, (2) a regra do produto e (3) \frac{d}{dx}\ln(x)=\tfrac1x.

Passo 2

Aplicando a mudança de base em cada termo, temos
f(x) =\ln(2x)\,\frac{\ln(x)}{\ln(10)} \;-\;\ln(a)\,\frac{\ln(x)}{\ln(a)} =\frac{\ln(2x)\,\ln(x)}{\ln(10)}-\ln(x).

Passo 3

Agora temos
f(x)=\frac{1}{\ln(10)}\bigl[\ln(2x)\,\ln(x)\bigr]\;-\;\ln(x).
Vamos derivar cada parte: o primeiro termo é um produto e o segundo é -\ln(x).

Passo 4

Derivando
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(2x)\,\ln(x)\bigr] =\ln(x)\,\frac{d}{dx}\ln(2x)+\ln(2x)\,\frac{d}{dx}\ln(x) =\ln(x)\cdot\frac1x+\ln(2x)\cdot\frac1x =\frac{\ln(x)+\ln(2x)}{x}.
E
\frac{d}{dx}[-\ln(x)]=-\frac1x.

Passo 5

Reunindo tudo,
f'(x) =\frac{1}{\ln(10)}\cdot\frac{\ln(x)+\ln(2x)}{x} \;-\;\frac1x =\frac{\ln(x)+\ln(2x)}{x\,\ln(10)}-\frac1x.
Para simplificar ainda mais, note \ln(x)+\ln(2x)=2\ln(x)+\ln(2), ficando
f'(x) =\frac{2\ln(x)+\ln(2)}{x\,\ln(10)}-\frac1x =\frac{2\ln(x)+\ln(2)-\ln(10)}{x\,\ln(10)}.

Resposta

f'(x) =\frac{2\ln(x)+\ln(2)-\ln(10)}{x\,\ln(10)}.

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