Sejam as retas r e s contidas no espaço \mathbb{R}^{3}, \vec{r} o vetor diretor da reta r e \vec{s} o vetor diretor da reta s. Se \vec{r} e \vec{s} não são paralelos, então as retas são concorrentes.
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Passo 1

O enunciado fala de duas retas r e s em \mathbb{R}^3, com vetores diretores \vec r e \vec s. Afirma que “se \vec r e \vec s não são paralelos, então r e s são concorrentes” (isto é, intersectam-se). O conteúdo é geometria analítica no espaço, mais precisamente a relação entre vetores diretores e interseção de retas.

Passo 2

Lembrando a teoria:
  • Duas retas em \mathbb{R}^3 são concorrentes se existe um ponto comum a ambas.
  • Ter vetores diretores não paralelos é condição necessária para que duas retas se cruzem, mas não é condição suficiente em \mathbb{R}^3, pois elas podem ser “retilíneas” mas não estarem no mesmo plano (são reversas ou skew lines).

Passo 3

Apresentando um contra-exemplo simples:
Considere
r:\; (x,y,z) = (0,0,0) + t\,(1,0,0) \quad\text{e}\quad s:\; (x,y,z) = (0,1,1) + u\,(0,1,0).
Aqui \vec r=(1,0,0) e \vec s=(0,1,0) não são paralelos, mas r está contida no plano y=z=0 e s no plano x=0,\;z-y=0. Não há solução comum para
(0,0,0)+(t,0,0)=(0,1,1)+(0,u,0),
logo r e s não se intersectam.

Passo 4

Como encontramos um caso em que \vec r e \vec s não são paralelos mas as retas são reversas (não se cruzam), a afirmação original é falsa.

Resposta

Falso

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