Exercício 39. Calcular a derivada das seguintes funções :
f(x)=\operatorname{arcsen}\left(\frac{3 \mathrm{x}+1}{\mathrm{x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{arcsen}\!\bigl(\tfrac{3x+1}{x}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a derivada da função inversa do seno ( \operatorname{arcsen}) e o uso da regra da cadeia.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{3x+1}{x}.
Para simplificar, escrevemos
u(x)=3+\frac{1}{x}.

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x). Como 3 é constante e \frac{1}{x}=x^{-1}, temos
u'(x)=0 - x^{-2}=-\frac{1}{x^2}.

Passo 4

Lembrando que, para g(x)=\operatorname{arcsen}(v(x)), vale
g'(x)=\frac{v'(x)}{\sqrt{1-\bigl(v(x)\bigr)^2}}.

Passo 5

Aplicando essa fórmula com v(x)=u(x), obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)}{\sqrt{1-\bigl(u(x)\bigr)^2}} =-\frac{1}{x^2\,\sqrt{1-\bigl(\frac{3x+1}{x}\bigr)^2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{x^2\sqrt{1-\bigl(\frac{3x+1}{x}\bigr)^2}}.

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