Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
Passo 1
O enunciado pede o valor de
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo é cálculo de limites envolvendo forma indeterminada, e vamos precisar transformar a potência em exponencial para aplicar a regra.
Passo 2
Definimos
Para lidar com a potência, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 3
Precisamos então calcular
Note que, quando
, tanto
quanto
, gerando a forma indeterminada
.
Passo 4
Aplicamos a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
derivada de em relação a
é
derivada de
e derivada de
é
. Logo
Como
, esse limite vale
.
Passo 5
Concluímos que
ou seja
. Assim
.