Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln ^{\frac{1}{x}}(x)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to+\infty}\ln(x)^{\frac1x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo é cálculo de limites envolvendo forma indeterminada, e vamos precisar transformar a potência em exponencial para aplicar a regra.

Passo 2

Definimos
y = \ln(x)^{\frac1x}.
Para lidar com a potência, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
\ln(y) = \frac1x \,\ln\bigl(\ln(x)\bigr).

Passo 3

Precisamos então calcular
\lim_{x\to+\infty}\ln(y) =\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}.
Note que, quando x\to+\infty, tanto \ln(\ln(x))\to+\infty quanto x\to+\infty, gerando a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
derivada de \ln(\ln(x)) em relação a x é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\ln(x)\bigr) =\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\ln(x)},
e derivada de x é 1. Logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(\ln(x)\bigr)}{x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x\,\ln(x)}.
Como x\,\ln(x)\to+\infty, esse limite vale 0.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{x\to+\infty}\ln(y)=0
ou seja \ln(y)\to0. Assim y\to e^0=1.

Resposta

1

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