Exercício 4.39 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{-\frac{1}{\ln (x)}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0^+} x^{-\frac{1}{\ln(x)}}.
Esse tipo de limite é do tipo 0^0, então a gente começa transformando a expressão com o logaritmo natural, de modo a obter um quociente adequado para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to0^+} x^{-\frac{1}{\ln(x)}}.
Então
\ln L = \lim_{x\to0^+} \ln\bigl(x^{-\frac{1}{\ln(x)}}\bigr).
Pelos logaritmos, isso vira
\ln L = \lim_{x\to0^+} -\frac{1}{\ln(x)} \,\ln(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{\ln(x)}{-\,\ln(x)}.
Agora temos um quociente do tipo \tfrac{-\infty}{\infty}, apropriado para L’Hospital.

Passo 3

Aplique a Regra de L’Hospital em
\lim_{x\to0^+} \frac{\ln(x)}{-\,\ln(x)}.
Derivando numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}[-\,\ln(x)] = -\,\frac{1}{x}.
Portanto,
\lim_{x\to0^+} \frac{\ln(x)}{-\,\ln(x)} = \lim_{x\to0^+} \frac{\tfrac{1}{x}}{-\,\tfrac{1}{x}} = -1.

Passo 4

Chegamos a \ln L = -1. Elevando e em ambos os lados,
L = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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