Exercício 4.35 Calcule usando a Regra de L’Hospital (faça o desenvolvimento, não coloque apenas as respostas):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{2}-3 x}{7 x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}-3x}{7x^{2}+1}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo envolve limites no infinito e indeterminações do tipo \infty/\infty.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada. Quando x\to+\infty,
5x^{2}-3x\to+\infty \quad\text{e}\quad 7x^{2}+1\to+\infty,
logo temos \infty/\infty, condição que autoriza o uso da Regra de L’Hospital.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(5x^{2}-3x)=10x-3, \qquad \frac{d}{dx}(7x^{2}+1)=14x.
O limite original passa a ser
\lim_{x\to+\infty}\frac{10x-3}{14x}.

Passo 4

Para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{10x-3}{14x},
dividimos numerador e denominador por x (para x>0):
\frac{10-\frac{3}{x}}{14}.
À medida que x\to+\infty, \tfrac{3}{x}\to0, ficando
\frac{10}{14}=\frac{5}{7}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{7}

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